过圆顶点v＝的小球做平抛运动吗

何勇 高文清

（新疆兵团二中 新疆乌鲁木齐 830002）

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何勇 高文清

（新疆兵团二中 新疆乌鲁木齐 830002）

【例题】半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物块质量为m，如图1所示．今给小物块一个水平初速度，则物块将

A．沿球而滑至M点

B．先沿球面滑至某点N再离开球面做斜下抛运动

C．按半径大于R的新圆弧轨道运动

D．立即离开半圆球做平抛运动

图1

分析：这道题是对圆周运动最高点速度v0＝的考查．可以分析出，物块在最高点当v0＝时，只受重力，对圆球无压力，故可以认为物块将做平抛运动．但是，再仔细想想这其中似乎有一定的问题：会不会物块此时不受压力，此后会与轨道有挤压呢？或者，物块先做一段平抛运动，随后再沿圆面滑下呢？物块究竟做什么运动呢？现对物块的运动进行如下分析．

方法1：利用函数方法求证

建立坐标系，用平抛运动和曲线运动轨迹的函数方程，证明物块运动轨迹（抛物线）与圆弧无交点（顶点除外）．

证明：以O点原点建立平面直角坐标系，如图2所示．圆的轨迹方程

图2

若两运动轨迹有交点，则有y1＝y2，即

可以推出x＝0．

所以，两轨迹只于初始点抛物线和圆有交点，即小球在圆顶部v0＝时做平抛运动至落地．

方法2：比较水平位移求证

选取任意相同水平高度，比较“平抛运动的水平位移总大于圆周运动的水平位移”．

证明：选取任意相同水平高度，设圆上A点与坐标原点的连线OA与x轴的夹角为θ，如图3所示．

图3

由小物块做平抛运动，可得

由圆上的A点的几何关系，可得

所以，小球离开半圆球顶部后做平抛运动至落地．

2014- 03- 12）