有限群的广义转移

刘 秀，韦华全，马儇龙

（1.昭通学院数学与统计学院，云南昭通657000；2.广西师范学院数学科学学院，广西南宁530023；3.广西大学数学与信息科学学院，广西南宁530004；4.北京师范大学数学科学院，北京100875）

有限群的广义转移

刘 秀1，韦华全2，3，马儇龙4

（1.昭通学院数学与统计学院，云南昭通657000；2.广西师范学院数学科学学院，广西南宁530023；3.广西大学数学与信息科学学院，广西南宁530004；4.北京师范大学数学科学院，北京100875）

给出了有限群广义置换表示和广义转移映射的概念，推广Burnside定理.

有限群；广义置换表示；广义转移；p-幂零

确定一个已知群的非单性或可解性，是群论中最重要的课题之一，其中单项表示方法和转移方法是行之有效的研究方法.本文提出广义置换表示和广义转移映射的概念，目的是推广Burnside定理，为研究有限群的非单性、p-幂零性和可解性打下基础.

1 基本定义及引理

定义1（参见文献［1］定义1） 设G1，G2是群，映射f：G1→G2叫做G1到G2的广义同态映射，记为G1G2，如果∀a，b∈G1，等式（ab）f＝afbf和（ab）f＝bfaf至少有一个成立.当f为同态时，可简记G1～G2；当f为反同态时，亦可记G1G2.

定义2（参见文献［2］定义2） 设G是群，称群G广义作用在非空集合Ω上，如果G到变换群SΩ有一个广义同态，即对每个元素x∈G，对应Ω上的一个变换φ（x）：α｜→αx，并且满足（αx）y＝αxy，或者（αy）x＝αxy，这里x，y∈G，α∈Ω.

定义3 所谓群的广义置换表示指的是群到置换群中的广义同态.

例1 设G是群，H≤G，取Ω＝｛Hx｜x∈G｝为H的全体右陪集的集合.作如下映射：P：G→SΩ，其中P（g）：Hx｜→Hxg，或P（g）：Hx｜→Hxg-1，∀Hx∈Ω，∀g∈G.由于

假定

则τ（g）是集合｛1，2，…，n｝的一个广义置换，而τ可看成是G到对称群Sn内的广义同态映射.

所谓G到H内的广义转移指的是G到H／H′内的……