基于改进总变分算法的遥感图像去噪方法研究

张洪为，宋芳芳

(通化师范学院 数学学院,吉林 通化 134002)

1 引言

遥感图像在获取和传输过程中会受到内部和外部环境等因素的干扰，使图像含有噪声而引起图像质量的下降，给遥感图像的识别和分析带来一定困难，这样遥感图像在使用前通常需要先进行降噪处理. 遥感图像的噪声分析、评估和滤波等作为遥感图像处理的一个研究热点一直受到关注[1].尽管传统的Wiener滤波和经典的高斯滤波算法简单，易于实现，但往往很难兼顾图像噪声的有效去除与图像边缘、纹理特征的保留.近年来，基于偏微分方程的全变分图像处理方法因其所具有的良好的边缘保持特性而受到越来越多人的关注[2]，并成为继小波之后的另一新型的图像处理工具，其中Rudin等在文献[3]中提出的变分极小化模型(简称TV模型)作为经典的去噪算法之一，在去噪的同时能够有效的保护图像边缘.然而随后的研究发现，TV模型不完全符合图像处理的形态学原则[4,5]，在噪声较大的情况下，模型的稳态解中往往有明显的“阶梯”效应.进一步，文献[5]对基本TV模型进行了改进，使“阶梯”效应得以缓解.然而，由于改进后的TV模型过度扩散，而使图像的边缘变得模糊，而且在处理具有丰富纹理和细节信息图像时，容易丢失一些重要的特征信息.

本文针对TV模型的不足，将标准梯度作为边缘引导函数引入到TV基本模型中，提出了一种基于标准梯度的带有边缘引导函数的改进模型，并给出了模型的离散化过程.该模型在有效去除遥感图像噪声的同时，能很好的保留图像纹理、边缘等细节信息.此外，模型还具有很好的稳定特性.仿真试验结果验证了所提出模型的有效性.

2 总变分模型

变分法的基本思想是将问题归结为一个泛函极小化问题，然后确定相应的偏微分方程，再数值求解[6].总变分模型的一般形式[7]为：

(1)

其对应的Euler-Lagrange方程为：

(2)

1992年Rudin Qsher和Fatemi提出变分极小化模型(简称TV模型)，在(1)式中令φ(|u|)=|u|，即求如下的最小化能量

(3)

(4)

式中，(x,u)∈Ω,t>0.

TV基本模型在保持图像边缘方面尽管有比较好的特性，但它不完全符合图像处理的形态学原则[4]，若用满足h'(u)>0、h(0)=0和h(255)=255的h(u)代替u，那么即使取λ=0时方程(4)都将发生变化，即图像按照式(4)演化时，它的变化不仅取决于其水平集(由u表征)，同时还取决于它的灰度值u.这一缺点导致其稳态解中通常会出现明显的“阶梯”效应.

针对以上问题，Marquina和Osher基本TV模型提出了改进[5]，在式(4)的右边乘以梯度模值|u|，获得如下模型(简称M-模型)：

(5)

3 改进的总变分模型

3.1 标准梯度

文献[9]中给出了“标准梯度”的概念.假定含噪声图像I的大小为m×n，该图像经高斯滤波后的结果为f(x,y)，即：

f(x,y)在x,y方向的偏导数表示为

原始图像和高斯滤波后的图像之间的方差为：

(fx(x,y),fy(x,y))在像素点(x,y)处的协方差为：

其中

对于像素点(x,y)，标准梯度Gs(x,y)定义为：

与传统梯度定义不同，标准梯度定义中首先对含噪图像进行了高斯滤波，在一定程度上降低了噪声对边缘检测的干扰，此外标准梯度定义中还引入了图像的统计信息(协方差)，更有利于保持图像的纹理细节.

3.2 基于标准梯度的改进总变分模型

由于M-模型应用于图像去噪时通常会因过度平滑而造成边缘模糊，同时会使具有丰富纹理和细节的区域丢失一些重要信息.为了更好地保护图像的细节信息，我们对⑸式进行了修改，对非线性扩散项引入一个边界引导函数g(|u|)，对逼近项则λ(u0-u)用替代，从而得到如下模型 (简称E-模型)：

其中，λ为均衡系数，函数g(s)为非负光滑单调下降函数，且满足：

引入边缘引导函数g(|u|)后，E-模型在图像灰度缓变的区域将会作较多的平滑，而在图像的边缘处则会作较少的平滑或者不平滑，从而在去噪的同时可以较好的保持图像的边缘.然而由于E-模型是利用传统的梯度模值|u|来检测图像的边缘，传统意义上的梯度易受噪声的干扰，经常不能正确区分图像的真实边缘和噪声引起的虚假边缘.为此，进一步我们用标准梯度模值代替边界引导函数中的传统梯度模值|u|，获得如下基于标准梯度模值的总变分模型(简称S-模型)：

(6)

图1 当K=10，m=1,0.8,0.6,0.5时边缘引导函数g(s)曲线图

4 改进模型的离散化

式(6)的离散格式为：

满足的边界条件为：

5 实验与讨论

本文的仿真实验是在MATLAB7.0下进行的.我们对TV基本模型、M-模型、E-模型和本文提出的改进S-模型应用于遥感图像去噪的结果进行了比较.实验中对大小为256×256的二幅遥感图像通过均值为0、归一化方差为0.02的高斯噪声进行了污染，然后对四种模型对每幅噪声图像的去噪效果进行了比较(参见图1～2)，实验中的客观评价指标采用了峰值信噪比(PSNR)和归一化均方差(NSME)：

其中U'(I,J)是去噪后的图像，U(I,J)是不含噪声图像；m和n为图像的长和宽.

图2 对遥感图像A的去噪效果比较

图3 对遥感图像B的去噪效果比较

从图2～3可以看出，采用TV基本模型处理后的图像具有明显的“阶梯”效应，而M-模型在一定程度上抑制了“阶梯”效应，但却使图像过度扩散，使边缘和纹理细节变得模糊.E-模型由于加入了边缘引导函数，使得在图像边缘的扩散速率得到了削弱，从而能比M-模型更好地保持边缘的锐度.但用传统梯度作为引导函数的检测算子因为容易受到噪声的干扰，所以处理后的图像边缘处会留有难以去除的噪声；采用本文提出的S-模型处理后的图像，很好的保留了更多的边缘和纹理特征.

为了进一步说明本文方法的有效性，我们对二幅遥感图像中分别加入了四种不同强度的高斯噪声，然后分别采用四种模型进行图像去噪处理，并对去噪后图像的峰值信噪比(PSNR)和归一化均方误差(NMSE)进行了统计，结果参见表1～2，V表示高斯噪声方差.从统计数据可以看出，对于不同的遥感测试图像和不同强度的噪声，本文算法的客观效果均优于其他三种模型的去噪效果，且算法的性能比较稳定.

表1 四种去噪模型对含有不同强度噪声的遥感图像A去噪后的PSNR和NMSE统计

表2 四种去噪模型对含有不同强度噪声的遥感图像B去噪后的PSNR和NMSE统计

6 结论

本文针对TV基本模型和M-模型在去除遥感图像中高斯噪声所存在的缺陷，通过对非线性扩散项和逼近项进行改造给出了E-模型，该模型在图像灰度缓变的区域将会作较多的平滑，而在图像的边缘处则会作较少的平滑或者不平滑，从而在去噪的同时可以较好的保持图像的边缘，然而考虑到E-模型中采用了传统的梯度模值来检测图像的边缘，对图像噪声的鲁棒性不适很强，这样进一步将标准梯度引入到E-模型中，提出一种基于标准梯度边缘检测的总变分模型(即S-模型)，该模型克服了基本TV基本模型容易产生“阶梯”效应和丢失细小纹理的弱点，抑制了M-模型的过度扩散模糊边缘，同时提高了E-模型的边缘引导能力，在有效去除遥感图像中高斯噪音的同时，很好的保持了图像的边缘和纹理细节信息.

参考文献：

[1]高连如,张兵,张霞,申茜.基于局部标准差的遥感图像噪声评估方法研究[J].遥感学报，2007，11(2):201-208.

[2]Ding Hai-yong,Bian Zheng-fu. Remote Sensing Image Restoration Based on TV Regularization and Local Constraints[J].Acta Photonica Sinica.2009,6(38):1577-1580.

[3] Rudin L.I.,Osher S.,Fatemi E.Nonlinear total variation based noise removal algorithms[J].Physica D,1992,60:259-268.

[4]Osher S,Fedikiw R.Level set methods and dynamic implicit surfaces[M].New York:Springer,2003.

[5] Marquina A, Osher S.Explicit algorithm for a new time dependent model based on level set motion for nonlinear deblurring and noise removal[J].SIAM Journal on Scientific Computing.2000,22:387-405.

[6]冯象初,王卫卫.图像处理的变分和偏微分方程方法[M].北京:科学出版社.2009.

[7] 王大凯,侯榆青,彭进业.图像处理的偏微分方程方法[M].北京:科学出版社,2008.

[8]Alvarez L,Morel J M.Formalization and Computational Aspects of Image Analysis[M].United States of America:Cambridge University Press,1994.

[9] Rakesh R. R.,Chaudhuri P.and Murthy C.Thresholding in edge detection:a statistical approach[J].IEEE Transactions on Image Processing,2004,13(7):927-936.