双材料界面裂纹奇异性及应力强度因子

刘晓红，李俊林，谢秀峰，李沐阳(太原科技大学 应用科学学院，太原 030024)

1 新应力函数

如图1所示，y>0部分为第一种正交异性材料，其材料工程常数为E11,E12,v11,v12,μ1；y<0部分为第二种正交异性材料，其材料工程常数为E21,E22,v21,v22,μ2；x≤0，y=0为界面裂纹；x>0，y=0为材料粘接界面；r和θ为从裂纹边缘起度量的极坐标。

应力函数Uj(j=1,2)满足控制方程：

(1)

图1 正交异性双材料半无限界面裂纹模型

系数(b11)j,(b12)j,(b22)j,(b66)j分别为：

连续边界条件为：

θ=±π:(σθ)1=(σθ)2=0,(τrθ)1=(τrθ)2=0

(2)

θ=0:(σθ)1=(σθ)2,(τrθ)1=(τrθ)2

(3)

θ=0:(ur)1=(ur)2,(uθ)1=(uθ)2

(4)

令ηjk满足控制方程组(1)的特征方程组：

(5)

此方程组的判别式有三种情形，分别为：△1>0,△2>0；△1<0,△2<0；△1>0,△2<0.本文仅讨论判别式△1>0,△2>0情况(其他两种情形可类似讨论)。

此时方程组(5)的根为：

由控制方程(1)及界面裂纹边界条件(2)-(4)，构造含有复奇异指数的新应力函数为：

(6)

其中λ为未知的复奇异指数，Ajk、Bjk为待定的复参数。

(7)

2 四种奇异性

对方程组的系数行列式进行适当的初等变换后，它们系数矩阵的行列式均为：

(8)

(9)

为使线性方程组有一组非零解，则系数行列式必须为0.

若sinλπ=0时，则λ=n(n=0,1,2…).因与复合材料工程常数无关，舍去此λ.

(10)

由式(10)可知c2>0，c4>0，以下通过c1c3中上下材料的不同讨论复奇异指数λ的取值。

1)当c1c3=0时，分情况讨论复奇异指数λ的值。

(11)

图2 半无限裂纹加载荷

3 应力强度因子

如图2所示，半无限界面裂纹在x=0，y=h处受集中复载荷R=Q+iP作用，其边界条件为：

(12)

由弹性力学知：

(13)

Re(Ajk+Bjk)=ajkRe(A22+B22),Im(Ajk+Bjk)=bjkIm(A22+B22)

(14)

由式(6)，式(12)-(14)可求得自由量Re(A22+B22)，Im(A22+B22)的表达式。

结合式(13)，可得应力强度因子的计算式为：

(j=1,2)

(15)

Re(Ajk+Bjk)=-ajkIm(A22+B22),Im(Ajk+Bjk)=bjkIm(A22+B22),(j=1,2；k=1,2)

(16)

由式(6)，式(12)-(13)，结合式(16)可得自由未知量Im(A22+B22)的表达式。

结合式(13)，可得应力强度因子的计算式为：

(17)

(18)

(19)

由式(6)、式(13)，结合式(19)，可得应力强度因子的计算式为：

(20)

(21)

结合式(13)，定义应力强度因子[3]为：

(22)

p=aj1+bj1+aj2+bj2,q=βj1aj1-βj1bj1+βj2aj2-βj2bj2

由式(6)、式(13)，结合式(22)，可得应力强度因子的计算式为：

(23)

4 四种奇异性算例分析

由以上推导，选取适当的正交异性复合材料弹性工程常数[10]，进行算例分析如下，结果验证了正交异性双材料半无限界面裂纹四种应力奇异性的存在。