二级倒立摆最优控制实验①

栾 迪

(南京理工大学紫金学院，江苏南京 210046)

0 引言

二级倒立摆是对准确性和快速性要求很高的非线性不稳定系统.它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型[1～2].最优控制是控制理论中非常热门的控制方法，用它来设计二级倒立摆的控制方法，无疑成为研究的热点.

二级倒立摆系统的结构如图1所示，机械部分主要有小车、下摆、上摆、导轨、皮带轮、传动皮带等，控制对象由小车、下摆、上摆组成，电气部分由电机、晶体管直流功率放大器、传感器以及保护电路组成[3].

图1 二级倒立摆物理模型示意图

假设条件:

(1)上摆、下摆及小车都是刚体;

(2)皮带轮与皮带之间无相对滑动，传动皮带无伸长现象;

(3)小车的驱动力与直流放大器的输入成正比，忽略电机绕组中的电感;

(4)小车运动时所受的摩擦力正比于小车的速度;

(5)下摆转动时所受的摩擦力矩正比于下摆的转动速度;

(6)上摆运动时所受的摩擦力矩正比于上摆对下摆的相对角速度.

1 线性二次状态控制器(LQR)设计

1.1 线性控制器(反馈阵K)

设状态反馈调节率的形式为 u*(t)=－Kx(t)，通过使性能指标函数即式(1)为最小，可求得状态反馈增益阵K.最优性能指标满足如式(2)的黎卡提方程[4～5].最优性能指标如式(3)所示.

在matlab中用以下语句可得状态反馈增益阵K和满足式(2)黎卡提方程的唯一对称正定解P.

Q=2*eye(6)，R=1.6，

P=are(A，BB，Q)，K=inv(R)*B＇*P

可以得到结果:

k=[0.8839－91.2426 86.1288 1.0498－6.2024 11.3657 ]

综上所述，PVT1在肝癌中明显高表达，其表达水平与肝癌患者TACE术后缓解程度、复发和生存率密切相关，可作为预测肝癌患者TACE预后的潜在分子标志物。

计算最小性能指标:

x0=[0，15*pi/180，10*pi/180，0，0，0]＇;%初始条件，J=0.5* x0*P* x0＇

得到 J=4.4146.

图2 LQR法各状态变量响应曲线

1.2 仿真结果

从仿真曲线图2可见，系统稳定，达到要求.

2 线性二次输出控制器(LQY)设计

2.1 线性控制器(反馈阵K)

设状态反馈调节率的形式为 u*(t)=－Kx(t)，通过使性能指标函数(式(4))为最小，可求得状态反馈增益阵K.最优性能指标满足如式(5)的黎卡提方程.最优性能指标如式(6)所示.

在matlab中用以下语句可得状态反馈增益阵K和满足式5黎卡提方程的唯一对称正定解P.

计算最小性能指标:

x0=[0，15*pi/180，10*pi/180，0，0，0]＇;%初始条件，J=0.5* x0*P* x0＇

得到 J=3.8694.

图3 LQY法各状态变量响应曲线

2.2 仿真结果

从仿真曲线图3可见，系统稳定，满足要求.

3 LQR与LQY法比较

为比较LQR法与LQY法的控制性能，对两种方法进行对比，仿真曲线如图4所示.

图4 LQR与LQY法各状态变量响应曲线对比

从仿真曲线图4中LQR算法和LQY算法的对比来看，LQR算法比LQY算法响应曲线好一点，但不是很明显.

可是从前面的计算结果看，有:

J*(LQR)＞J*(LQY)

理论上应当J*(LQR)＜J*(LQY)，之所以出现这种情况，可能是LQR法在选择Q阵与R阵时没有使之达到性能最优.

4 结语

本文给出了二级倒立摆的最优控制方法，线性二次状态控制器(LQR)和线性二次输出控制器(LQY)，并且给出了仿真结果.通过仿真可知，两种控制器都能够使得二级倒立摆系统稳定，达到预期的效果.且两种控制方法效果相当.

[1]张葛祥，李众立，毕效辉.倒立摆与自动控制技术研究[J].西南工学院学报，2001，16(3):12－16.

[2]宋君烈，肖军，徐心和.倒立摆系统的 Lagrange方程建模与模糊控制[J].东北大学学报(自然科学版)，2002，23(4):333－337.

[3]郑科，徐建明，俞立.基于TS模型的倒立摆最优性能模糊控制[J].控制理论与应用，2004，21(5):703－708.

[4]Farwig M，Zu H，Unbehauen H.Discrete Computer Control of a Triple‐ Inverted Pendulum[J].Optimal Control Applications and Methods，1990，11(2):157－171.

[5]徐雄.倒立摆系统的研发及基于 MATLAB的实时模糊控制[J].电子测试，2007，5:2－5.