基于Mindlin解和最小势能原理的群桩位移计算①

孙锦剑

(同济大学地下建筑与工程系，上海 200092)

0 引言

目前，对竖向荷载作用下群桩基础沉降计算的方法已经有很多学者进行了深入的研究.1980年，Poulos提出了相互作用的系数方法[1，2];1979 年，Randolph提出了剪切位移方法[3];1986 年，Chow提出了混合方法[4].但这些方法普遍存在运算量比较大的问题.1997年，Shen W Y运用幂函数级数的位移函数根据变分原理分析了竖向荷载作用下的群桩基础[5].基于变分原理的方法不需要划分桩单元，却能考虑土体弹性模量随深度变化的情况，且分析精确度较高.

基于变分理论的优势，本文根据Mindlin基本位移解提出了一个只含两个未知参数的群桩中单桩的位移函数关系式.根据变分原理，结合Randolph的单桩位移解法中的桩周土体剪应力和位移关系，桩端土与桩端沉降关系进行推导，得到群桩中单桩的荷载位移关系.

1 Mindlin位移解介绍

如图1所示，半无限弹性体内一集中荷载在均质土体中引起的竖向位移为s[6]:

其中:

z为计算深度;L为桩长;R为计算点到集中荷载的水平距离;υ为泊松比;E为土体变形模量，按E=(1+υ)(1－2υ)/(1－υ)Es计算，Es为压缩模量.

图1 Mindlin竖向位移解计算图示

2 群桩分析理论

2.1 变分分析

根据王勖成提出的最小势能原理可知，任意群桩基础的总势能可为如下[7，8]:

式中:n为群桩中单桩数量;V为单桩体积;S为单桩桩侧表面积;A为单桩横截面积;Ep为桩弹性模量;{τ}={τ1，τ2，…，τn}T为桩体深度 z处剪应力矩阵;{w}={w1，w2，…，wn}T为桩体深度z处位移矩阵;{σ}={σ1，σ2，…，σn}T为桩端应力矩阵;{wb}={wb1，wb2，…，wbn}T为桩端位移矩阵;{pi}={pt1，pt2，…，ptm}T为桩顶外荷载矩阵;{wi}={wt1，wt2，…，wtn〛T为桩顶位移矩阵.

(2)式中的第一项表示群桩应变能，第二项表示桩侧摩阻力所作的功，第三项表示桩端阻力所作的功，第四项表示外力所作的功.

由桩土位移协调条件可知，(2)式中{τ}和{w}，{σ}和{wb}的关系可以通过土体模型确定.根据1979年Randolph的分析结果1，可以得到:

—式中[k]为深度z处群桩中单桩的桩周土刚度矩阵，[kb]为群桩中单桩的桩端土刚度矩阵.

将(3)、(4)带入(2)式可得:

对于一个平衡的弹性系统，根据最小势能原理可以有以下关系:

2.2 荷载位移关系[3]

1979年，Randolph提出桩周土体的剪应力和剪切位移关系为[1]

式中:Gz为深度 z处土体的剪切模量，[F]为土体柔度矩阵，矩阵各项为

式中:当 i=j时，r=r0;当 i≠ j时，r=sij.r0为单桩的半径，sij为第i根桩和第j根桩的中心距离，其中rm为:

式中:ρ为土体的不均匀系数，等于桩中间土体的模量与桩端处土体的模量的比值;L为桩的长度;υ为泊比.

1979年，Randolph提出桩端土与桩端沉降的关系为[1]:

—式中Gl为桩端处土体剪切模量;[Fb]为土体柔度矩阵，矩阵中各项为当i=j.

式中:A为桩端截面面积，sij为第i根桩和第j根桩轴线之间的距离，υ为土体泊松比，r0为桩半径.

结合(3)、(4)、(7)、(10)，可得

图2 Ⅰ号桩刚度变化曲线图

图3 Ⅱ号桩刚度变化曲线

3 群桩变分分析

3.1 选取的位移函数

由于Mindlin位移解是点荷载作用下的位移，而实际中桩是有一定半径的，故本文取r等于桩径处的位移来近似认为是桩的位移，于是可得单桩位移函数，

本文结合Mindlin位移解，假定单桩位移函数关系式如下:

式中:ai和bi为待定系数，

3.2 变分的矩阵表示

基于式(16)和式(5)、(6)，可得

图4 Ⅲ号桩刚度变化曲线

3.3 求 解

代入可求得ai，bi由式(16)可以得到群桩基础中任意单桩在任意深度处的位移大小.

4 对比验证

为了验证本文提出的群桩基础中单桩的位移函数，采用以下案例进行验证.一均质土体，群桩基础(3×3承台)，单桩半径为r0，单桩间距s设为5r0，土体泊松比为0.5，Pt=500kN.本文将群桩中各桩进行编号，角点处单桩设为Ⅰ号桩，各边中点处单桩设为Ⅱ号桩，中心点处单桩设为Ⅲ号桩.本文采用Matlab编程软件进行分析计算.如图2、图3和图4所示为随着桩长径比的变化，Ⅰ号桩、Ⅱ号桩和Ⅲ号桩等效刚度Pt/(Gsr0wt)的变化.

5 结论

本文根据Mindlin基本位移解提出一个只含有两个待定参数的群桩中的单桩的位移函数关系式.通过与Randolph方法和Chow方法可以得到如下结论:

(1)本文方法与Randolph方法和Chow方法的结果比较接近，这说明本文方法的正确性.

(2)本文方法只有两个未知参数，计算量较小，运用方便，且理论上也较为严密.

[1]Poulos H G，Davis E H.Pile Foundation Analysis and Design[M].John Wiley and Sons，New York，1980.

[2]Poulos H G.Analysis of the Settlement of Pile Groups[J].Geotechnique，1968，18:449 – 471.

[3]Randolph M F.Wroth C P.An Analysis of the Vertical Deformation of Pile Groups[J].Geotechnique，1979，29(4):423 –439.

[4]Chow Y K.Analysis of Vertically Loaded Pile Groups[J].International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，1986，10，59 – 72.

[5]Shen W Y，Chow Y K，Yong K Y.A variational Approach for Vertical Deformation Analysis of Pile Group[J].International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，1997，21:741 –752.

[6]林智勇，戴自航，苏美选.基于Mindlin位移解考虑桩径影响的桩基沉降计算[J].福州大学学报，2009，37(4):588－592.

[7]王伟，杨敏.基于变分原理的群桩位移计算方法[J].岩土工程学报，2005，27(9):1072－1076.

[8]王勖成.有限元法基本原理和数值方法[M].北京:清华大学出版社，1997.