基于PSO-NP 机械加工尺寸的PI 型广义预测控制*

李国龙，李国勇

(太原理工大学 信息工程学院，太原030024)

0 引言

机械加工通过对工件的几何参数进行改造能够有效的提高社会生产效率从而产生更大的经济效益，因此研究机械加工尺寸的预测控制显得尤为重要。机械加工过程中对加工尺寸进行检测和控制能够有效的保证零件加工尺寸的精度，其首要条件是建立适当的模型对加工尺寸的变化情况进行准确的描述和预测，而通过广义预测控制中的多步预测，使系统根据以往尺寸的输入，输出数据和已选定的未来尺寸输入值，不断的预测未来尺寸的输出值从而克服系统的不确定性以及增强系统的鲁棒性。但是GPC 中所选的参数与工程实际要求的指标联系不够紧密，并且对于随机突发的干扰不能达到实时的控制效果。PI 型广义预测控制能够有效提高实时跟踪性，改善系统的控制品质，结合两种控制技术的优势可以产生控制效果更加符合实际要求的PI 型广义预测控制。然而加工过程中各种因素的机理非常复杂，并且加工过程受到很多实际条件的约束，在控制系统中存在了约束，势必会对控制量求解带来难度，使问题复杂，计算量加大，影响了算法的性能，再加之PI 型广义预测控制的比例因子和积分因子整定比较困难，所以对其参数整定就有十分重要的意义。文献［2］利用遗传算法优化整定PI 型广义预测控制的参数，但并没有考虑实际尺寸加工过程对控制作用的约束，文献［3］在PI 型广义预测控制的基础上，使用lagrange 乘子法处理PI 型广义预测控制输入输出的约束条件，但并没有考虑PI 型广义预测控制参数整定困难的问题。本文在PIGPC 算法的基础上引入MATLAB 最优工具箱中求解非线性规划问题的fmincon 函数处理机械加工尺寸过程中的约束条件，再通过粒子群算法对其比例因子和积分因子进行优化整定，并通过MATLAB 仿真实验从而获得更有效的控制策略，从而提高加工零件的质量。

1 加工尺寸的建模和预测

1.1 确定目标函数

预测控制中的预测模型是一个基础的模型，主要是被用来描述系统的动态变化。将通过在线测量获得的加工尺寸数据序列作为一个时间序列，采用适当的在线建模方法建立起相应的模型，该预测模型能够根据系统以往的加工尺寸数据预测出之后的尺寸数据。该预测模型将PID 的反馈结构和GPC 的预测功能相结合，其设计基于下面的CARMA 模型。

A(z-1)、B(z-1)、C(z-1)分别是na、nb和nc阶的z-1的多项式;y(k)、u(k)和ω(k)分别表示尺寸输出、输入和噪声序列;Δ=1- z-1;

式中

PI 型广义预测控制所采用的目标函数为:

其中，{yr(k + j)}是设定的尺寸输出值;{y∧(k +j)}为预测向前第j步的尺寸预测值，Nμ表示输出控制时域，输出的预测时域为Ny;λ＞0 为控制加权因子，Kp，Ki为比例因子及积分因子。

在目标函数中加入后一项为了使过于剧烈的控制增量得到压制，其目的是为了避免系统超出限制范围并且抑制剧烈振荡。

为了获得尺寸输出y(k)的向前多步预测值，求解如下丢番图方程:

其中j =1，2，…，N，系数项Ej、Fj、Gj、Hj都是Z-1的多项式。

由式(1)、(3)可求得k +j时刻尺寸预测值的输出为:

式中，GNy中Z-1项的系数为gi。

目标函数式(2)的向量形式为:

式(6)中，

1.2 带约束条件的控制律的求解

1.2.1 控制对象的约束条件

在实际生产中对于尺寸的输入输出有一定的限制，一般主要有如下三种约束情况，即控制增量约束，控制量约束和输出约束。

控制量增量约束:

控制量幅值约束:

输出量约束:

上式中，

带约束条件的PI 型广义预测控制问题，可以归结为在满足(7)，(8)，(9)三个约束条件下，使目标函数(6)达到最小。

1.2.2 非线性规划

非线性规划中的目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数，其主要研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题。因此上述问题可以转化为求解非线性规划问题进而求得目标函数(6)在约束条件下的最小值，进而求得带约束的PI 型广义预测控制的控制律。

非线性规划的形式可以表达如下:

其中，设计变量x =［x1，x2，…xn］T是n维欧式空间Rn的向量，f(x)为(6)式中的目标函数，hi(x)=0，gj(x)≤0 为式(7)，(8)，(9)的约束条件。

求解该非线性规划问题，通过使用MATLAB 最优化工具箱中的fmincon 函数，其搜索在约束条件下非线性多元函数的最小值是从一个预估值开始的。其形式可以表示如下:

上式中，x、b、beq、lb和ub是矢量;A和Aeq为矩阵;c(x)和cep(x)返回矢量的函数;f(x)、c(x)和cep(x)是非线性函数。

2 基于粒子群算法的约束PI 型广义预测控制参数整定

带约束的PI 型广义预测控制存在着比例因子、积分因子整定的困难，所以对其参数优化整定显得非常重要，在计算智能领域，粒子群算法是一种针对群体的智能优化算法。该算法通过个体之间的协作来寻找最优解的进化计算技术，用于解决复杂系统的优化问题，算法简单且容易实现。该算法最早是在1995 年由Kennedy 和Ebennedy 共同提出的，其主要是根据人工生命和演化计算理论。PSO 算法是通过观察鸟类的捕食行为发现，鸟通过跟踪其周围有限数量的同伴从而使整个鸟的群体保持在一个中心控制范围中，其表明简单规则的相互作用可以引起复杂的全局行为。鸟类只有在离食物最近的鸟的附近范围内寻找才能最快速的找到食物。PSO 算法就是根据鸟类寻找食物的方法得到的启发，依次来解决求解最优解的问题，算法中每个粒子都有可能解决这个问题，并且每个粒子的适应度值都是由适应度函数决定的。其中粒子的速度决定粒子的距离和移动方向的，根据其他粒子的移动经验该速度不断的进行动态的调整，从而使个体粒子在整个可解空间中寻求到最优解。

粒子群算法初始化的一群粒子中每个粒子的特征是用位置，速度和适应度值三个指标表示的，粒子的优劣是由适应度值的好坏决定的，适应度值的求解是通过计算适应度函数得到的。空间中粒子的运动，更新个体极值位置时取决于个体极值Pbest和群体极值Gbest。个体极值Pbest表示个体有经历的所有位置中最优的那个位置。粒子每变化一次位置要通过适应度函数计算一次该位置的适应度值，而为了获得个体极值Pbest及群体极值Gbest的位置，可以通过将新粒子的适应度值和个体极值，群体极值的适应度值做比较得出。粒子就是根据这两个极值不断更新自己的速度和位置。

式中，w为惯性权重;d =1，2…，D;D表示一个粒子的总维数，根据具体的优化问题而定;i =1，2，…，n;n表示粒子的总个数;n为当前迭代次数;Vid为粒子的速度;c1，c2是非负的常数，称为加速度因子;r1，r2是分布于［0，1］区间的随机数。为降低粒子搜索的盲目性，一般将其位置和速度限制在一定的区间［- Xmax，Xmax］。

2.1 惯性权重的选取

惯性权重体现的是粒子继承先前速度的能力，Shi.Y 指出较大的惯性权值能够获得较好的全局搜索能力，而要想获得较好的局部搜索则需要较小的惯性权值［8］。为了使算法同时具有较强的局部搜索能力和全局搜索能力，线性递减惯性权重被提出，即:

其中，初始惯性权重为wstart;wend为迭代至最大次数时的惯性权重;k为当前迭代代数;Tmax为最大迭代代数。通常而言，惯性权值wstart =0.9 ，wend =0.4 时算法性能最好。这样，随着迭代的进行，惯性权重由0.9 逐渐递减至0.4，迭代初期较大的惯性权重是为了使算法的全局搜索能力较强，为了获得更加精确的局部搜索能力可以使迭代后期的惯性权重较小。

2.2 适应度函数的选取

应用粒子群算法整定带约束条件的PI 型广义预测控制问题归根到底是一个优化问题，是通过求Kp，Ki从而求得目标函数(6)的最小值，故采用目标函数(6)做为PSO 算法的适应度函数。

2.3 参数整定的算法实现

PI 型广义预测控制在实际应用中存在着复杂多样的约束条件，只有当目标函数可微时，才能求解约束的二次规划，且只能获得局部最优解。而PSO 算法不要求目标函数以及约束条件可微，便能快速的求得全局最优解，所以将PSO 算法与具有PI 广义预测控制相互结合，能够很好的解决在约束条件下被控对象很难获得准确参数以及收敛速度慢的问题。

粒子群算法整定带约束的PI 型广义预测控制的比例因子、积分因子算法如下:选取性能指标式(6)为PSO 算法的适配值评价函数;比例，积分因子Kp，Ki可认为是PSO 算法的寻优目标;粒子的种群为待求解的集合;根据PSO 算法的原理，首先初始化粒子的位置和速度，评价每个粒子的适配值，得到个体最优值Pbest和种群的最优值Gbest和此时粒子的位置，利用式(10)、(11)对粒子位置Xt和惯性权值w进行迭代更新，并重新计算每个粒子的适配度值。如果满足算法的结束条件，具有最小适配值的粒子的位置就是所要求最佳Kp，Ki。

该算法的流程图如下:

图1 PSO 算法优化参数流程图

3 基于PSO-NP 机械加工尺寸的PI 型广义预测控制

首先获得m(视具体情况取值)个加工尺寸检测数据，，加工开始后对式(3)中的参数进行非线性最小二乘估计，然后按式(4)求取y∧(k +j)，之后每增加一个数据，进行一次上述过程，从而得到各时刻超前j步预测的加工尺寸数据序列;当所得的数据量达到m(视具体情况取值)时，每次新得一个尺寸数据就丢弃一个最老的数据，使在线预测的数据量始终为m。为了将控制性能的指标达到最优，通过非线性规划处理机械尺寸预测过程中输入输出的约束条件，再通过粒子群算法对该算法中的参数Kp，Ki进行优化整定。其整个算法的流程图如下:

图2 PSO-NP 优化PI 型广义预测控制

4 仿真研究

选取仿真的机械加工系统为:y(k)=0.3y(k -2)+0.3y(k -2)u(k -2)+0.5u(k -1)，带约束的广义PI 广义预测控制的预测长度Ny =3，控制长度Nu =2，控制加权系数λ=1，初始比例、积分因子Kp =9，Ki =3，设置对象的输入输出为的约束为-0.3 ≤Δu(k)≤0.3，-1≤u(k)≤1，0 ≤y(t)≤2.5;粒子群算法整定Kp，Ki，学习因子c1= c2=2，惯性权重根据式(12)确定。

仿真结果如下:

图3 PSOPIGPC 与GAPIGPC 优化参数后对比输出

图4 未对算法中参数进行优化整定的仿真

图5 对参数进行优化整定后的本文算法仿真

通过图3 的仿真结果可以看出，用粒子群算法取代文献［2］中的遗传算法优化参数，可以有效减少系统的超调，缩短调整时间，从而达到更好的控制效果。通过图4 和图5 中输出量跟踪曲线的比较可以看出，本文算法相比于文献［3］中未对参数进行优化的算法具有更好的跟踪性能和适应能力，输出的波动更小，通过图4，图5 中控制量曲线的对比，对带约束的PI 型广义预测的参数进行优化整定后，控制量变化更加缓和并且减少了因模型失配引起的控制量振荡。

5 结束语

本文将工程中广泛应用的PI 控制技术与广义预测相结合应用到机械尺寸加工过程中，通过粒子群算法对其进行参数的优化整定从而达到良好的控制效果，通过仿真可以看出本文算法能够更加保证零件的加工质量，且本文算法策略便于实施，可应用于数控机床或自动化生产线上。

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