一类PM2.5受风力等因素影响的仓室模型

丁本艳 张利群

(临沂大学理学院,山东临沂 276005；山东师范大学数学科学学院,山东济南 250014)

一类PM2.5受风力等因素影响的仓室模型

丁本艳 张利群

(临沂大学理学院,山东临沂 276005；山东师范大学数学科学学院,山东济南 250014)

通过与仓室模型相联系,研究在某种特定的情况下,风力、温度、湿度对PM2.5的影响,并通过微分方程的相关理论分析,给出这些因素对PM2.5的影响关系。

空气污染；PM2.5；仓室模型；拉格朗日变易法

空气污染问题是全世界普遍关注的问题，PM2.5是指空气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称细颗粒物，含量越高就代表空气污染越严重。细颗粒物指数已经成为一个重要的测控空气污染程度的指数。到2010年底，除美国和欧盟一些国家将细颗粒物纳入国标并进行强制性限制外，世界上大部分国家都还未开展对细颗粒物的监测。我国对PM2.5的研究起步比较晚，2011年1月1日首次对PM2.5的测定进行了规范，2013年才开始有比较完整的数据记录，而且系统尚不规范，因此对PM2.5研究的意义较大。

仓室模型主要运用在研究传染病传播等问题上，并取得了丰硕的成果。本文运用仓室模型研究PM2.5的传播问题，并结合微分方程的相关理论，对影响PM2.5的风力、温度、湿度等因素进行定性分析。此模型中主要考虑假定的因素，其余的因素假设影响很小，可以忽略，其中对风力分析的时候也考虑一个特殊的风向，比如从西往东吹，对相邻的三个区域进行分析。

1 模型的建立

为了描述某地区PM2.5的发生和演变，取G，S，X水平方向上的三地，设风从西往东吹，来研究在不考虑其他因素的情况下，风力、湿度和温度以及左右两地对其PM2.5的影响，建立模型，其他的风向也可做类似讨论。在假设相应的变量系数后构造如下仓室模型：

其中G，S，X分别表示甲地、乙地、丙地的PM2.5。结合仓室模型得到相关的微分方程如下：

其中，G0=（m1+v1）（α1-α2），S0=（m2+v2）（β1-β2），X0=（m3+v3）（γ1-γ2）。各参数的含义如下：mi≥0，（i=1，2，3）表示G，S，X三地的温度对PM2.5的有效作用率，vj≥0，（j=1，2，3）表示G，S，X三地的湿度对PM2.5的有效作用率，α1，β1，γ1表示三地在常规状态下生成的PM2.5的值，α2，β2，γ2表示在常规状态下PM2.5的扩散值，表示风力对三个地方的有效作用率。

2 模型的分析

由(1)对应的齐次方程组的通解及拉格朗日变易法可得(1)的通解：

系统(1)中包含各地区内在的温度湿度的因素，也包括外在的风力因素。运用微分方程的理论，取其中S地的解来分析一下各因素对PM2.5的影响，由上述通解得：

定理1.对于S地区PM2.5的解(2)，当t→+∞时，无论k变大还是变小，该地区的PM2.5的值与风力无关，只与自身的温度湿度有关；但当t在一个小邻域内时，随着k的变大，PM2.5的值会变小。

因为S的左边是单调递减的指数函数，在t一定时，随k增大而变小。

定理2.当下列几种情况至少之一出现时，PM2.5的值S会逐渐减小：1）α1=α2或β1=β2或γ1=γ2时，即各地区的产生与扩散的PM2.5的值相等；2）mi，vi（i=1，2，3）对PM2.5的有效影响率越小时，PM2.5的值会变小。

例.比较武汉市2013年1月份和7月份的PM2.5（选择的目的是这两个月的温度、湿度有明显差异）。

下图很直观清楚地反映出它们的PM2.5的差距，1月份大约在200个单位上下浮动，而7月份则在60个单位上下变化，这就说明温度、湿度等对PM2.5的作用很大，也就是说1月份温度、湿度对PM2.5相应的有效影响率会较大，7月份较小。

3 结论

综上可知，在现实生活中，一年有四季，四季的温度、风力等会有较大的变化。冬季的PM2.5的值会比夏季的PM2.5的值高，而冬季和夏季它们的温度、湿度和风力是有很大差别的。但是在一个小的时间段内，比如几天之内，甚至一天之内，他们所对应的相应参数不会有太大变化，比如风力，在短时间内不会有太大变化，那么其主要变化作用的就是温度和湿度。当然影响PM2.5的产生因素有很多，在此就不予细论。由于我国对PM2.5的认识才刚刚起步，相应的数据收集并不完整，所以当把模型与实际的数据相结合的时候，会有一定的误差，但是我们相信当有相对完整的数据时，就可以准确地求出各地的有关PM2.5的参数，更加清晰地找出根本所在，并采取相关的措施加以治理。

[1]张芷芬等，微分方程定性理论[M].科学出版社，1997.

[2]马知恩，周义仓等.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京：科学出版社，2004.

O175

A

1003-5168(2014)04-0184-02

丁本艳(1989—)，女，山东莱芜人，硕士研究生，从事常微分方程定性与分支理论研究。