利用逆向思维，设辅助函数解决有关中值问题

邱香兰

(萍乡学院，江西 萍乡 337000)

运用数学知识解决实际问题时有两种思维方式，正向思维和逆向思维。逆向思维法是指为实现某一创新或解决某一因常规思路难以解决的问题，而采取反向思维寻求解决问题的方法。设辅助函数是由题设条件及所给的数量关系，构造一种新的函数、使问题在新的关系下实现转化从而获得解决的方法。利用逆向思维，设辅助函数解决有关的中值问题，就是由问题结论及题中所给的数量关系，构造一种新的函数、使中值问题在新的关系下实现转化从而获得解决的方法。

1 解决中值问题的主要理论知识

1.1 罗尔定理

如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使得f'(ξ)=0

1.2 拉格朗日中值定理

如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(a-b)成立。

1.3 柯西中值定理

如果函数f(x)及F(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使等式成立。

1.4 泰勒中值定理

如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对任一x∈(a，b)有:

这里ξ是x0与x之间的某个值。

2 中值问题的解题方法及举例说明

考察分析罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的结论以及泰勒中值定理的条件可以得出下面有关中值问题的一般解题方法:

2.1 证明含一个中值的等式或根的存在

多用罗尔定理，可用原函数法找辅助函数。即若命题为证明在区间……