任意带状矩阵的求逆问题研究

邓勇

任意带状矩阵的求逆问题研究

邓勇

喀什师范学院数学系,新疆喀什市844006

对称Toeplitz矩阵、Toeplitz矩阵以及三对角矩阵在数学的众多领域有着广泛应用,尤其是三对角或更一般的带状矩阵经常被应用于解偏微分方程的有限差分法和求解变系数线性递归方程等问题之中.所谓r-带状矩阵Br,n,(1≤r≤n)指的是当-r≤i≤r,1≤j≤r时元素为{aij},而剩下的其他元素全为零的n×n阶矩阵且r称为其带宽.在已有文献中,关于r-带状矩阵的许多特殊情况(r=1,2,3)的求逆问题已经得到彻底解决.为将这些结果一般化,对Mallik方法进行了推广,并获得了r-带状矩阵Br,n的LU分解和求逆(如果存在)公式.特别地,当r=n时,它成为计算可逆方阵逆矩阵的新途径.

三角矩阵;Hessenberg矩阵;逆矩阵;r-带状矩阵

1 引言

目前，关于矩阵的求逆(如果存在)问题已有多种方法。例如：高斯——若当法、三角分解法、Cholesky分解法以及目前非常流行的分块求逆法等[1,2,3,4]。众所周知，对角矩阵A=diag( a1,…,an)的逆为A-1=进一步，若U是两对角矩阵，设为：

则U-1=(vij)，其中：

H B Li和M E Mikkawy等学者[6,7]证明了B-1=(cij)，其中：

由此可见，三对角矩阵的逆矩阵是非稀疏的，因此，分块求逆法对它不适用.基于这个原因，E Kilic利用反向连分数得到了三对角矩阵求逆的另一种特殊方法[8]。

一般地，我们定义n阶r-带状矩阵,rnB为：

2 r-带状矩阵的LU分解

为获得r-带状矩阵,rnB的LU分解，我们先构造两个递归数列，对1ir≤≤和1sr≥≥，定义

和

我就感觉这五个字非常厉害，任何矛盾和问题只要用上这五个字，立马就能化掉百分之八十。不信你可以在生活中试验一下，奇迹马上就会出现。……