Excel在测量平差中的应用
——以条件平差为例

李 飞，纪淑鸳

（1.杨凌职业技术学院，陕西杨凌712100；2.西北农林科技大学，陕西杨凌712100）

Excel在测量平差中的应用
——以条件平差为例

李 飞1，纪淑鸳2

（1.杨凌职业技术学院，陕西杨凌712100；2.西北农林科技大学，陕西杨凌712100）

测量平差公式推导多，计算过程比较复杂，大量的计算都以矩阵的形式进行。根据多年生产实践和工程经验，结合Excel相关功能及条件平差理论，对Excel 2003的功能进行充分挖掘，使其成为处理测量平差问题的可靠平台，并举例阐述了Excel在条件平差过程中的计算和应用方法，结果证明，该方法计算简单，方便实用。

Excel；测量平差；条件平差；矩阵运算

“测量平差”因其理论性较强，公式繁杂，大量数据使计算变得繁琐复杂，尤其是涉及矩阵计算的更多［1－3］。出现错误并不容易发现，对计算结果的检查又加剧了数据处理负担。为此，笔者经过在实践中的不断探索，引入了Excel，并利用Excel所具有的相关功能，使条件平差这样复杂的问题简单化。本文的研究成果对减少测量平差计算强度及难度具有积极的意义。

1 Excel进行矩阵运算［4－9］

1.1 Excel的矩阵定义

矩阵不是一个数，而是一个数组。在Excel里，数组占用一片单元域，单元域用大括号表示，例如｛A1：C3｝，以便和普通单元域A1：C3相区别。设置时先选定单元域，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，大括弧即自动产生，数组域得以确认。一个单元格就是一个变量，一片单元域也可以视为一组变量。为了计算上的方便，一组变量最好给一个数组名。例如A＝｛A1∶C3｝、B＝｛E1∶G3｝等。矩阵命名的步骤是：选定数组域（矩阵所占的单元格），点“插入”菜单下的“名称”，然后选择“定义”，输入A或B等，单击“确定”即可。则矩阵命名为A或B。

1.2 测量平差用到的Excel常用矩阵函数

测量平差用到的 Excel常用矩阵函数有：TRANSPOSE（array）（计算一数组所代表的矩阵的转置）、MMULT（arrayl，array2）（计算两个数组矩阵的乘积）和MINVERSE（array）（计算一数组所代表的矩阵的逆矩阵）。

函数运用有3种方法：

（1）通过在编辑栏输入“＝”号，输入函数名称；

（2）通过点击“插入”菜单下的“函数”，选择“函数类别”的“数学与三角函数”；

（3）点击工具栏图标fx，然后选择“插入函数”中相应的函数。

1.3 利用Excel进行矩阵转置

应用矩阵函数“TRANSPOSE（array）”进行矩阵转置。方法如下：

（1）输入待转置的矩阵A；

（2）在空白区选择一存放转置矩阵的区域，与待求转置矩阵行数和列数相同；

（3）保持该区域为选中状态，在公式输入栏输入公式“＝TRANSPOSE（A）”；

（4）按“Ctrl＋Shift＋Enter”，运行得出矩阵 A的转置矩阵。

1.4 利用Excel进行矩阵相乘矩阵相乘是运用函数MMULT（A，B），方法如下：（1）输入矩阵A、B，要求A的列数与B的行数相等；

（2）在空白区选择一存放相乘结果矩阵C的区域，与C矩阵行数和列数相同；

（3）保持该区域为选中状态，在编辑栏输入“＝MMULT（”，接着选中A矩阵，输入“，”，选中B矩阵，最后输入“）”

（4）按“Ctrl＋Shift＋Enter”，运行得出 AB相乘的结果C矩阵。

1.5 利用Excel进行矩阵求逆［10］

应用矩阵函数“MINVERSE（array）”进行矩阵求逆。方法如下：

（1）输入待求逆的矩阵A；

（2）在空白区选择一存放逆矩阵的区域，与待求逆矩阵行数和列数相同；

（3）保持该区域为选中状态，在公式输入栏输入公式“＝Minverse（A）”；

（4）按“Ctrl＋Shift＋Enter”，运行得出矩阵 A的逆矩阵。

2 条件平差原理［1－2］

条件平差是先确定该模型的必要观测数 t，计算多余观测数 r（r＝n－t，其中 n为总观测数），列r个独立的条件方程式，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解算观测值改正数的最或是值，从而求得n个观测量的平差值。

2.1 平差计算公式

条件平差的数学模型为：

法方程为：

2.2 精度评定公式

观测值平差值的协因数阵为：

平差值函数线性形式为：

平差值函数的中误差为：

3 条件平差算例［3，11－12］

如图1所示，A和B是已知高程的水准点，高程分别为HA＝5.016 m，HB＝6.016 m，并设这些已知点高程无误差。

图1 测量示意图

图1中P1，P2和 P3点待定，观测高差和观测相应的水准路线长度见表1。按条件平差法求：（1）各待定点的平差高程；（2）P1至 P2点间高差平差值的中误差。

计算步骤如下：

（1）列条件方程和平差值函数式

本例有7个观测值，有3个待定点，所以必要数t＝3，多余观测数 r＝n－t＝7－3＝4，故可列4个条件方程式。

表1 观测数据

①4个条件方程式为：

式中闭合差以mm为单位。

（2）定权，并组成法方程。令C＝1 km，即1 km观测高差为单位权观测，于是Pi＝1／Si，Qii＝P－1i＝Si。因各观测值高差不相关，故协因数阵为对角阵，即

（3）组成法方程NaaK－W＝0，运用Excel矩阵相乘MMULT函数，先计算出 AQ，再计算出Naa＝AQAT。则法方程为：

表2为在Excel中计算矩阵的乘积及转置

表2 矩阵的乘积和转置

（4）解算法方程，先运用Excel矩阵求逆MINVERSE函数计算Na－a1，

表3为在Excel中计算矩阵的逆。

再运用Excel矩阵相乘MMULT函数计算

（5）计算改正数，先运用 Excel矩阵相乘MMULT函数，先计算出QAT，再计算出V＝QATK，单位为mm。

V＝［－0.2 2.9－4.2－0.1－3.9－0.6－1.2］T

（6）计算平差值＾L＝L＋V，并代入平差值条件式检核。

＾L1＝ 1.3588，＾L2＝ 2.0119，＾L3＝ 0.3588，＾L4＝1.0119，＾L5＝0.6531，＾L6＝0.2374，＾L7＝－0.5962

表3 Excel中计算矩阵的逆

（7）计算P1，P2和P3点平差高程：

（8）精度评定：

P1至P2点间高差平差值的中误差为：

4 结 语

应用Excel进行测量平差尽管没有用到计算机语言，但在计算应用和效率上却不低于用计算机语言所编写的程序。通过上述例子可以看出，应用Excel进行条件平差计算时，可以非常清晰的展现条件平差计算的基本原理，平差原理中所涉及的公式都可以实现，计算思路清晰，一目了然，不但可以使测绘工作者更容易掌握，从繁琐的编程设计和数值计算中摆脱出来，有更多的时间和精力去观测，进行数据采集；而且可以锻炼测绘工作者思考问题、发现问题、分析问题和解决问题的能力和创新思维，得到精度更好、效率更快的观测数据提供基础。测量平差计算是测量专业技术人员必须具备的业务能力，结合Excel的功能和特点，本文实现了条件平差的快速准确计算，提高了条件平差的计算效率，为测量工作者节省了大量的计算时间。

［1］ 武汉测绘科技大学测量平差教研室.测量平差基础（第3版）［M］.北京：测绘出版社，2007.

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［12］ 高士纯，于正林.测量平差基础习题集［M］.北京：测绘出版社，2003.

Application of Excel in Surveying Adjustment——Taking Conditional Adjustment for Example

LIFei1，JIShu-yuan2
（1.Yangling Vocational and Technical College，Yangling，Shaanxi 712100，China；2.Northwest A＆F University，Yangling，Shaanxi712100，China）

As the calculation of the formula for surveying adjustment ismore complex，a large number of its calculations have been conducted with matrix operation.Based on the production and engineering experiences in many years，and combined with the related function of Excel and conditional adjustment theory，the function of Excel 2003 is developed sufficiently so as tomake itbeing a denpendable platform for the treating of the surveying adjustment，then the calculation and application of Excel in the process of conditional adjustmentare elaborated with examples.The results prove that the method is simple，convenient and practical.

excel；survey adjustment；condition adjustment；matrix operation

P207＋.2

A

1672—1144（2014）01—0197—04

10.3969／j.issn.1672－1144.2014.01.041

2013-07-15

2013-10-19

李 飞（1982—），男，陕西户县人，硕士，讲师，主要从事工程测量技术专业的教学与研究工作。