我发现的俞氏定律

俞博文

摘要：一次解题中，我无意犯了一个三角形算法的“天大错误”，却让我发现一个三角形面积关系计算的“规律”。

关键词： 三角形；几何；俞氏定律

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）10-385-02

一次解题中，我无意犯了一个三角形算法的“天大错误”，却让我发现一个三角形面积关系计算的“规律”。

问题如下图所示：小三角形面积占四边形面积几分之几？

我不假思索的拿起笔就列出了算式：分子（前项）3×2÷2，分母（后项）﹙3＋4﹚×﹙2＋6﹚÷2－3×2÷2，计算整理得3／﹙7×8÷2－3﹚＝3／﹙28－3﹚＝3／25 。再 回头仔细一看，顿时发现天大谬误——我竟然“前无古人后无来者”地用三角形一个角的两条邻边相乘再除以2计算三角形的面积。我连忙把“错误算式”擦掉，思考了一会，终于找到“正确”解题路径。

首先，在原图中添加一条辅助线，如图（1）。

那么三角形ABE如图（2）

三角形BDE面积与三角形ADE面积的比则为1∶3（高相等，面积之比等于底之比）。

同理，图（3）中左右两个三角形ABE与AED的面积比为3∶4。由此，图（2）（1＋3）份面积等于图（3）面积中的3份，根据（2）、（3）两图面积的两个比例关系，可以得到小三角形与四边形的面积比为：1∶﹙4／3×4＋3﹚＝1÷﹙16／3＋3﹚＝1÷25／3＝3／25。

在得出正确答案的一刹那，我忽然有一种“似曾相识”的感觉。正确答案和我之前“冲动”思索得出的答案一模一样!“难道两种算法有什么关联吗？或许之前的算法也是正确的？”我既疑惑又兴奋。

为了解开自己的困惑、验证我的猜想，我自己编制一道类似的数学问题，例如，图（4）所示：

问：三角形BDE面积占三角形ABC面积的几分之几？我先用“猜想的方法”列式计算：（除以2是公有常数，可以全部消除）5×6／﹙2＋5﹚×﹙6＋3﹚＝30÷63＝10／21。……