基于保辛算法的绳系卫星系统闭环反馈控制问题求解

陈飙松　江新　彭海军

摘要：应用非线性系统滚动时域控制的保辛算法求解绳系卫星系统子星释放和回收过程的闭环反馈控制问题.通过第二类Lagrange方程推导出二体绳系卫星系统的动力学方程；通过拟线性化方法将绳系卫星系统闭环反馈控制问题转化为线性非齐次Hamilton系统两端边值问题的迭代求解；通过保辛算法将线性非齐次Hamilton两端边值问题转化为线性方程组的求解；通过递进更新时间步的状态变量和控制变量，完成绳系卫星系统的闭环反馈控制.数值仿真表明：相对于Legendre伪谱方法，用保辛算法求解绳系卫星系统的闭环反馈控制问题的计算速度和收敛速度较快.绳系卫星系统的开环控制和闭环反馈控制问题数值仿真结果表明：在绳系卫星的初始状态存在偏差的情况下，使用开环控制会导致系统在终端无法达到稳定状态，而使用闭环反馈控制则能在一段时间内抵消初始状态向量偏差对系统产生的影响，最终达到稳定状态.

关键词：绳系卫星； 释放； 回收； 闭环反馈控制； 保辛； 拟线性化

中图分类号： V474.292

文献标志码：B

0 引 言

绳系卫星系统是指通过系绳将主星与子星连在一起飞行的组合体.[1]在通过调节系绳张力释放或回收卫星的过程中，子星与系绳的运动都会受到Coriolis力的影响，系绳产生大幅振动[2]，因此必须加以控制使得系统达到稳定状态.绳系卫星系统的控制为强非线性问题，具有内在不稳定性[3]，在初始状态向量存在偏差时，若事先采用开环控制进行计算，并用计算结果控制绳系卫星系统，会使控制效果大打折扣.闭环反馈控制采用反馈控制律修正由于初始状态向量的偏差而产生的影响[4]，因此相比开环控制具有一定的优势.

滚动时域控制（Receding Horizon Control， RHC）是一种能够起到闭环反馈控制效果的模型预测控制方法，将其应用于非线性系统时能得到稳定的闭环系统.[5]绳系卫星系统的滚动时域控制在线求解效率是闭环反馈控制问题的关键，因此研究滚动时域控制问题的数值算法具有重要价值.文献[6]根据对偶变量变分原理和生成函数提出一种求解线性滚动时域控制问题的保辛算法，将线性滚动时域控制问题转化为一组稀疏对称非负定的线性方程组进行求解.这种方法不需要对Riccati微分方程进行数值积分运算，能有效提高计算效率.文献[7]进一步利用拟线性化方法，将非线性系统转化为线性非齐次Hamilton系统两端边值问题的迭代求解，而后利用对偶变量变分原理与生成函数提出一种求解非线性滚动时域控制的保辛算法.文献[7]提出的方法能求解高度不稳定的非线性系统.考虑到绳系卫星系统在空间环境中极易受到外部扰动的影响，其动力学控制问题较为复杂[8-9]，因此有必要推导一种高效的数值计算方法解决绳系卫星系统的控制问题.

本文首先通过第二类Lagrange方程推导二体绳系卫星系统的动力学方程，然后将求解非线性系统滚动时域控制问题的保辛算法应用于绳系卫星系统的闭环反馈控制问题中.数值仿真将保辛算法的计算结果与Legendre伪谱方法的计算结果进行比较，结果表明保辛算法在计算速度上具有较大优势.进一步分析表明，保辛算法求解绳系卫星系统的闭环反馈控制问题具有较高的收敛速度.此外，分析数值仿真绳系卫星系统的开环控制与闭环反馈控制方案，结果表明：在状态向量存在初始偏差的情况下，绳系卫星系统内在的不稳定性会导致系统在终端无法达到稳定状态，而闭环反馈控制可以通过反馈控制率逐渐消除状态向量初始偏差的影响，使得系统在终端依然能达到稳定状态.

摘要：应用非线性系统滚动时域控制的保辛算法求解绳系卫星系统子星释放和回收过程的闭环反馈控制问题.通过第二类Lagrange方程推导出二体绳系卫星系统的动力学方程；通过拟线性化方法将绳系卫星系统闭环反馈控制问题转化为线性非齐次Hamilton系统两端边值问题的迭代求解；通过保辛算法将线性非齐次Hamilton两端边值问题转化为线性方程组的求解；通过递进更新时间步的状态变量和控制变量，完成绳系卫星系统的闭环反馈控制.数值仿真表明：相对于Legendre伪谱方法，用保辛算法求解绳系卫星系统的闭环反馈控制问题的计算速度和收敛速度较快.绳系卫星系统的开环控制和闭环反馈控制问题数值仿真结果表明：在绳系卫星的初始状态存在偏差的情况下，使用开环控制会导致系统在终端无法达到稳定状态，而使用闭环反馈控制则能在一段时间内抵消初始状态向量偏差对系统产生的影响，最终达到稳定状态.

关键词：绳系卫星； 释放； 回收； 闭环反馈控制； 保辛； 拟线性化

中图分类号： V474.292

文献标志码：B

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绳系卫星系统是指通过系绳将主星与子星连在一起飞行的组合体.[1]在通过调节系绳张力释放或回收卫星的过程中，子星与系绳的运动都会受到Coriolis力的影响，系绳产生大幅振动[2]，因此必须加以控制使得系统达到稳定状态.绳系卫星系统的控制为强非线性问题，具有内在不稳定性[3]，在初始状态向量存在偏差时，若事先采用开环控制进行计算，并用计算结果控制绳系卫星系统，会使控制效果大打折扣.闭环反馈控制采用反馈控制律修正由于初始状态向量的偏差而产生的影响[4]，因此相比开环控制具有一定的优势.

滚动时域控制（Receding Horizon Control， RHC）是一种能够起到闭环反馈控制效果的模型预测控制方法，将其应用于非线性系统时能得到稳定的闭环系统.[5]绳系卫星系统的滚动时域控制在线求解效率是闭环反馈控制问题的关键，因此研究滚动时域控制问题的数值算法具有重要价值.文献[6]根据对偶变量变分原理和生成函数提出一种求解线性滚动时域控制问题的保辛算法，将线性滚动时域控制问题转化为一组稀疏对称非负定的线性方程组进行求解.这种方法不需要对Riccati微分方程进行数值积分运算，能有效提高计算效率.文献[7]进一步利用拟线性化方法，将非线性系统转化为线性非齐次Hamilton系统两端边值问题的迭代求解，而后利用对偶变量变分原理与生成函数提出一种求解非线性滚动时域控制的保辛算法.文献[7]提出的方法能求解高度不稳定的非线性系统.考虑到绳系卫星系统在空间环境中极易受到外部扰动的影响，其动力学控制问题较为复杂[8-9]，因此有必要推导一种高效的数值计算方法解决绳系卫星系统的控制问题.

本文首先通过第二类Lagrange方程推导二体绳系卫星系统的动力学方程，然后将求解非线性系统滚动时域控制问题的保辛算法应用于绳系卫星系统的闭环反馈控制问题中.数值仿真将保辛算法的计算结果与Legendre伪谱方法的计算结果进行比较，结果表明保辛算法在计算速度上具有较大优势.进一步分析表明，保辛算法求解绳系卫星系统的闭环反馈控制问题具有较高的收敛速度.此外，分析数值仿真绳系卫星系统的开环控制与闭环反馈控制方案，结果表明：在状态向量存在初始偏差的情况下，绳系卫星系统内在的不稳定性会导致系统在终端无法达到稳定状态，而闭环反馈控制可以通过反馈控制率逐渐消除状态向量初始偏差的影响，使得系统在终端依然能达到稳定状态.

摘要：应用非线性系统滚动时域控制的保辛算法求解绳系卫星系统子星释放和回收过程的闭环反馈控制问题.通过第二类Lagrange方程推导出二体绳系卫星系统的动力学方程；通过拟线性化方法将绳系卫星系统闭环反馈控制问题转化为线性非齐次Hamilton系统两端边值问题的迭代求解；通过保辛算法将线性非齐次Hamilton两端边值问题转化为线性方程组的求解；通过递进更新时间步的状态变量和控制变量，完成绳系卫星系统的闭环反馈控制.数值仿真表明：相对于Legendre伪谱方法，用保辛算法求解绳系卫星系统的闭环反馈控制问题的计算速度和收敛速度较快.绳系卫星系统的开环控制和闭环反馈控制问题数值仿真结果表明：在绳系卫星的初始状态存在偏差的情况下，使用开环控制会导致系统在终端无法达到稳定状态，而使用闭环反馈控制则能在一段时间内抵消初始状态向量偏差对系统产生的影响，最终达到稳定状态.

关键词：绳系卫星； 释放； 回收； 闭环反馈控制； 保辛； 拟线性化

中图分类号： V474.292

文献标志码：B

0 引 言

绳系卫星系统是指通过系绳将主星与子星连在一起飞行的组合体.[1]在通过调节系绳张力释放或回收卫星的过程中，子星与系绳的运动都会受到Coriolis力的影响，系绳产生大幅振动[2]，因此必须加以控制使得系统达到稳定状态.绳系卫星系统的控制为强非线性问题，具有内在不稳定性[3]，在初始状态向量存在偏差时，若事先采用开环控制进行计算，并用计算结果控制绳系卫星系统，会使控制效果大打折扣.闭环反馈控制采用反馈控制律修正由于初始状态向量的偏差而产生的影响[4]，因此相比开环控制具有一定的优势.

滚动时域控制（Receding Horizon Control， RHC）是一种能够起到闭环反馈控制效果的模型预测控制方法，将其应用于非线性系统时能得到稳定的闭环系统.[5]绳系卫星系统的滚动时域控制在线求解效率是闭环反馈控制问题的关键，因此研究滚动时域控制问题的数值算法具有重要价值.文献[6]根据对偶变量变分原理和生成函数提出一种求解线性滚动时域控制问题的保辛算法，将线性滚动时域控制问题转化为一组稀疏对称非负定的线性方程组进行求解.这种方法不需要对Riccati微分方程进行数值积分运算，能有效提高计算效率.文献[7]进一步利用拟线性化方法，将非线性系统转化为线性非齐次Hamilton系统两端边值问题的迭代求解，而后利用对偶变量变分原理与生成函数提出一种求解非线性滚动时域控制的保辛算法.文献[7]提出的方法能求解高度不稳定的非线性系统.考虑到绳系卫星系统在空间环境中极易受到外部扰动的影响，其动力学控制问题较为复杂[8-9]，因此有必要推导一种高效的数值计算方法解决绳系卫星系统的控制问题.

本文首先通过第二类Lagrange方程推导二体绳系卫星系统的动力学方程，然后将求解非线性系统滚动时域控制问题的保辛算法应用于绳系卫星系统的闭环反馈控制问题中.数值仿真将保辛算法的计算结果与Legendre伪谱方法的计算结果进行比较，结果表明保辛算法在计算速度上具有较大优势.进一步分析表明，保辛算法求解绳系卫星系统的闭环反馈控制问题具有较高的收敛速度.此外，分析数值仿真绳系卫星系统的开环控制与闭环反馈控制方案，结果表明：在状态向量存在初始偏差的情况下，绳系卫星系统内在的不稳定性会导致系统在终端无法达到稳定状态，而闭环反馈控制可以通过反馈控制率逐渐消除状态向量初始偏差的影响，使得系统在终端依然能达到稳定状态.