五轴数控系统旋转运动学通用建模及处理方法*

段舒文，林 浒，郑飂默，孙树杰

(1.中国科学院研究生院，北京 100039;2.中国科学院 沈阳计算技术研究所，沈阳 110168)

0 引言

五轴联动数控系统在当今精密工件的加工中发挥着举足轻重的作用，可以用于加工诸如螺旋桨、涡轮叶片、螺旋锥齿轮［1］等质量要求高、曲面复杂的精密工件。在实际加工过程中，用G 代码可以较容易的得到刀位数据文件，然则由于机床种类多，运动链各不相同，所以由刀位数据文件求解机床轴运动数据成为后置处理的难点［2］。本文对三大类机床进行建模，给出一种简单通用的求解方法，克服常规后置处理中坐标变换的两大缺点:第一，常规后置处理主要针对旋转矢量是特殊矢量的情形，而不是任意的空间矢量;第二，少数后置处理模型可以处理任意空间矢量，然而反解运动学方程困难，不利于编程实现［3］。

1 五轴机床旋转运动通用模型

五轴机床按照旋转坐标实现方式的不同，可以分为三类:双摆头机床，双转台机床，混合型机床。每一类机床又可以根据主动轴、从动轴的选择不同，可分为六种，然而其中两种机床的实现无意义，所以有四种机床。比如，双摆头机床有BA，AB，CA，CB(前面的字母表示主动轴)这四种。对于每一类机床的四种具体类型机床，其运动学的模型基本相同。本文针对每类机床建立其各自对应的运动学模型。

1.1 齐次运动变换

平移运动变换Trans［4］:

Trans(T)表示沿向量T进行的平移变换。定义如下:

旋转运动变换Rot［5］:

在实际的生产加工中，有时会用到斜旋转轴的数控机床。这就造成当旋转轴进行旋转的时候，所绕的向量可能并不是［1;0;0］或［0;1;0］或［0;0;1］，而是任意的空间向量n。在此，定义矩阵Rot(n，α)为绕任意向量n旋转角度α 的旋转矩阵。定义第一旋转轴旋转矢量为n1，旋转角度为α;第二旋转轴旋转矢量为n2，旋转角度为β。

矩阵Rot(n，α)的定义如下:

1.1 摆头类机床的运动学模型

Ow为机床坐标系;Ot为刀具坐标系，其中刀具方向不一定为Zt方向，所以用矢量v1=［i1;j1;k1;0］来表示。O1、O2分别为刀具第一旋转中心坐标系和刀具第二旋转中心坐标系。Ow、Ot、O1、O2这四个坐标系相互平行。向量T1、T2为O1、O2、Ot之间的偏移。向量T为编程坐标系下机床各直线轴的运动矢量。变换后的刀具方向用向量v2=［i2;j2;k2;0］表示。

图1 双摆头五轴机床及其运动链示意图

根据图1 所示双摆头［6］五轴机床和坐标系对应关系，可得如下的正向运动学方程:

由于刀具方向与平移运动无关，则方程可化简为:

1.2 转台类机床的运动学模型

根据转台类机床运动学特点，同理可得如下运动学模型:

图2 双转台机床示意图

方程可化简为:

1.3 混合类机床的运动学模型

图3 混合类机床示意图

根据混合类机床运动学特点，同理可得如下运动学模型:

方程可化简为:

2 反解运动学方程

由三类机床的运动学模型及式(1)、(2)、(3)可知，在反解旋转运动学方程中，即已知刀具方向在变换前和变换后的方程矢量v1=［i1;j1;k1;0］和v2=［i2;j2;k2;0］，以及两个旋转轴的旋转矢量n1=［x1;y1;z1］、n2=［x2;y2;z2］，求两个旋转角度α，β，即是求解方程:

矩阵RotT(n，α)定义为矩阵Rot(n，α)的转置。

可以 验 证，Rot(n，α)·RotT(n，α)= E，则Rot(n，α)为正交矩阵。所以式(4)可变形为:

根据式(5)，可得方程组:

其中:

方程组可由Gauss 消元法［7］解得。然而在方程有解的情况下，求得的解不唯一，在一个周期内，至少有两组解满足方程。我们要根据一些具体的限制条件，找出最优解。

确定最优解的策略:

1)解满足原方程组。

2)解可通过周期性变化后符合机床角度运动范围的上下限。

3)角度变化绝对值小(可设置主动轴变化值和从动轴变化值的权值)。

3 仿真实验

下面通过vericut 仿真一个斜旋转轴机床的加工过程，来检测模型的正确性。机床模型为一个BC 混合型机床，且刀具轴的旋转矢量为即一个斜摆头混合型机床。

图4 斜摆头混合型五轴机床

加工毛坯为500 ×500 ×500 的一个正方体，预期将这一正方体加工成一个侧面为梯形的类棱柱体，其上表面为300 ×300 的正方形，加工后工件示意图如图5 所示，图中绿色矩形为刀尖点路径。为了达到加工的目的，用C 语言写程序造型，编制刀具路径，之后通过上述所建立的五轴机床旋转运动学通用模型，求解获得刀位文件，再把刀位文件导入vericut 中进行加工，加工结果如图6 所示。经过测量，符合预期结果。

图5 加工后零件示意图

图6 加工后零件侧视图

在主频为2.2GHz 的电脑上，分别以上述BC 斜摆头混合型五轴机床(图4)、CA 双摆头机床、AB 双转台机床、AB 混合型机床为原型，用旋转运动学通用模型求解刀轴时，所耗时间的统计结果如表1 所示。除BC斜摆头混合型五轴机床外，其余机床的刀具矢量均为［0;0;1］。表1 中数据单位为ms。

表1求解模型耗时统计表

分析上述表格可知，在不计数据的读入和写出时间情况下，用旋转运动学通用模型求解刀轴，平均每条数据处理时间约为0.02ms，可以满足实时运动控制系统的需求(一般情况下，机床系统周期为2ms，运动控制最多占1/4 的时间，即0.5ms)。

4 结束语

本文通过对三类五轴数控机床进行运动学建模，从而推导出五轴数控机床旋转运动统一的运动学模型。在此基础上，对模型进行分析，给出求解方法，并在方程多解的情况下，进一步给出确定最优解的策略。最后，通过仿真实验验证了模型的可行性和高效性。

［1］张传生，张安清.五轴数控机床中的坐标变换［J］.河南广播电视大学学报，2004，17(3):47 -49.

［2］Zheng Kui-jing，Shang Bo. Circular Interpolation Algorithms of 5-Axis Simultaneous CNC System［J］. JOURNAL OF WUHAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY，2006，28(z2):407 -411.

［3］李永桥，陈强，谌永祥. 五轴数控机床通用坐标运动变换及求解方法的研究［J］. 组合机床与自动化加工技术，2010(10):4 -7.

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［5］郑飂默，林浒，盖荣丽. 基于通用运动模型的五轴机床后置处理［J］.计算机集成制造系统，2010，16(5):1006 -1011.

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