一类抽象随机发展方程的随机吸引子

韩英豪，张晴，王宏全

(辽宁师范大学数学学院，辽宁 大连 116029)

1 预备知识

1997年，H.Crauel等在文献[1]中建立了随机偏微分方程吸引子理论的基本框架,并给出了在某些非线性偏微分方程中的应用.之后，很多学者开始研究随机偏微分方程吸引子的存在性并取得了一些成果，然而这些结果仅适用于个别特殊的可加噪声或乘积噪声驱动的随机偏微分方程上,对于更一般的随机过程驱动的大多数非线性随机偏微分方程而言，吸引子存在性理论还有待进一步研究.B.Gess等在文献[2]中证明了一些一般的可加噪声驱动的随机偏微分方程吸引子的存在性.本文在文献[2]的基础上，证明了被乘积噪声驱动的抽象随机发展方程的随机吸引子的存在性.

对任意有限区间[s,T]⊆R，本文所研究的抽象随机发展方程具有如下形式：

(1)

其中H是一个可分希尔伯特空间,其内积用〈·,·〉H表示，H的对偶空间用H*来表示,在Riesz同构i∶H→H*下这两个空间可视为相同(H≡H*).同时，V是一个自反巴拿赫空间,可连续、稠密地嵌入到H中：V⊆H≡H*⊆V*,其中V*表示V的对偶空间,并用V*〈·,·〉V表示V与V*之间的对偶运算.A∶V→V*是满足下述条件的可测算子,即存在常数α>1和δ,c1,c2,c3,K>0,对于∀v,v1,v2∈V,满足：

(H1)(半连续性)映射sV*〈A(v1+sv2),v〉V为连续映射；

(Ω,I,It,P)表示一个滤子化的概率空间,(Nt)t∈R是一个标准实值Wiener过程.令((Ω,I,P),(θt)t∈R)是一个度量动力系统，即(t,ω)θt(ω)是B(R)⊗I/I可测,θ0=id,θt+s=θt∘θs,且θt保持P测度不变,(Nt)t∈R满足如下条件：

(S1)(严格平稳增长性)对∀t,s∈R,ω∈Ω,有Nt(ω)-Ns(ω)=Nt-s(θs(ω))-N0(θs(ω));

(S3)(可测性)N∶R×ΩR是关于σ-代数B(R)⊗I/B(R)可测的；

(S4)对P-a.s.,ω∈Ω,当|t|→∞时,Nt(ω)是次线性增长，即|Nt(ω)|=o(t).

2 结果及其证明

首先，给出方程(1)的温和解、随机动力系统和随机流等基本概念,有关随机动力系统的内容可参见文献[1]和文献[3].

定义2设(H,d)是一个完备可分度量空间.(i)一个关于度量动力系统θt的随机动力系统(RDS)是一个可测映射φ:(φ∶R+×H×Ω→H;(t,x,ω)φ(t,ω)x)，使得φ(0,ω)=idH，并且φ(t+s,ω)=φ(t,θsω)∘φ(s,ω)，其中t,s∈R+,ω∈Ω.若对∀t∈R+,ω∈Ω,xφ(t,ω)x是连续的,则称φ为连续随机动力系统.(ii)如果对任意-∞

(2)

利用方程(2)的解定义随机流φ与随机动力系统

S(t,s;ω)Z(s)=Z(t)，

(3)

则由平稳增长性可以得出S(t,s；ω)x=S(t-s,0；θ0(ω))x.如果定义φ∶R+×H×Ω→H为

φ(t,ω)x=S(t,0;ω)x,

(4)

则由文献[4]中的定理4.2.4可推得方程(1)存在唯一It适应的解,因而得到如下定理.

定理1假设条件(H1)—(H4)成立,并且任意一个随机过程Nt满足条件(S1)—(S3),则(3)式中定义的映射族S(t,s;ω)是与方程(1)相关联的连续随机流,因而由(4)式定义的映射族φ是与方程(1)相关联的连续随机动力系统.

定义3(i)一个(闭)集值映射K∶Ω→2H,如果对∀x∈H,映射ωd(x,K(ω))是可测的,则称K是可测的，其中对非空集A,B∈2H,规定d(A,B)(x,y),d(x,B)=d({x},B).一个(闭)可测的集值映射K也叫做一个(闭)随机集.

定义4如果H的一个随机集A在P测度意义下对几乎所有的ω∈Ω满足下述条件,则称A为随机动力系统φ的随机吸引子:

(i)A是φ不变集,即φ(t,ω)A(ω)=A(θtω),∀t>0;

(ii)A吸引所有确定型有界集B⊆H.

下面给出一个随机动力系统存在随机吸引子的判别方法.

运用上述定理拟证明一个随机动力系统的随机吸引子的存在性,需要证明存在一个紧吸收集，为此需要如下附加条件：

(5)

证明对方程(2)两端用zt在H中做内积,再由算子A的强迫性得到

(6)

根据Gronwall引理,当s≤-1时有

(7)

证明对不等式(6)两端同乘eλ t,并在[-1,0]区间上求积分，则引理2结论得证.

(8)

(9)

由引理4和定理2的结果可知,与方程(1)相关联的随机动力系统φ存在唯一的一个紧随机吸引子.

注此结论同样可适用于拟线性抛物型偏微分方程、广义多孔介质方程等.

参考文献：

[1]Crauel H,Debussche A,Flandoli F. Random attractors[J]. J Dyn Dif Equ,1997,9(2):307-341.

[2]Gess B,Liu Wei,Roeckner M. Random attractors for a class of stochastic partial differential equations drivern by general additive noise[J]. J Differential Equation,2011,251(2):1225-1253.

[3]Crauel H,Flandoli F. Attractors for random dynamical systems[J]. Probab Theory Related Fields,1994,100(3):365-393.

[5]Liu W. Invariance of subspaces under the solution flow of SPDE[J]. Infin Dimens Anal Quantum Probab Relat Top,2010,13(1):87-98.