广义阻尼边界条件下Laplace方程反问题的非线性积分方程法

胡宇清

(东南大学数学系，211100，南京)

0 引言

在科学研究中经常要通过间接观测来探索位于不可达、不可触之处的物质的变化规律;生产中经常要根据特定的功能对产品进行设计，或按照某种目的对流程进行控制。简而言之，就是由果索因，而这就是所谓的反问题。反问题大量出现于医学成像、地质探测、非损伤性探测、雷达遥感等领域。反问题不仅是非线性的，而且从数值计算的角度看是不适定的。

热成像、静电成像等很多物理问题在数学上被看做Laplace方程的逆边值问题，本文考虑这类问题的广义阻尼边值条件(GIBC)。目前对广义阻尼边界条件问题已有很多研究[1－3]。对于双连通区域已知外部边界上一些柯西数据重构内部边界形状的反问题通常采用文献[4]中提出的边界积分方程方法。边界积分方程方法已被广泛应用，文献[5，6]中作者应用该方法重构了腐蚀探测问题中被腐蚀边界的形状以及阻尼系数;文献[7]中作者对已知的腔体内部一条曲线上若干散射场的测量数据，运用该方法重构了外部腔体的形状。本文基于文献[4]中提出的方法通过格林公式定理推导出边界积分方程组，从而将要解决的重构边界形状反问题转化为了求解非线性积分方程组的问题，再用正则化的迭代方法最终重构出边界形状。

1 问题的叙述

假设双连通有界区域D⊂R2，其边界由2个非连接的光滑若当闭曲线Γ0和Γ1组成，使得∂D∶ =Γ0∪Γ1且Γ0∩Γ1=φ，其中Γ1是环形区域D的内边界。定义υ为区域D的边界单位外法向量。……