关于ω-稠密度的一个注记

杨 洁

(聊城大学东昌学院, 山东 聊城 252000)

1 预备知识

陈水利[1]引入了一种具有广泛意义的L-fuzzy保序算子空间,简记为L-保序算子空间,并给出ω-闭集,ω-基,ω-子基等概念．文献[2-4]中将一些常见的算子进行统一,建立了L-保序算子空间的基本理论．文献[5-6]继续在L-保序算子空间中引入基本的基数函数:ω-权,ω-特征和ω-稠密度并系统地讨论了这些概念的基本性质及关系．

在文献[6]的最后,作者提出了一个问题:点集拓扑学中关于浓度成立的Hewitt-Marczewski-Pondiczery定理是否关于ω-稠密度能够成立?

本文将研究上述问题并给出一个部分解答．L为fuzzy格,M是L中所有分子的集合．LX表示在非空集合X上定义,在L中取值的所有L-fuzzy集合构成的集族．1X和0X分别指LX中的最大最小元．LX中的所有分子的集合记为M*(LX)．基数ω0是指最小无限基数．本文中的基数m≥ω0,其它相关概念和符号可参考文献[1,5-6]．

定义1[1]设X是一个非空集合,ω:LX→LX是满足下列条件的算子:(i)ω(1X)=1X,(ii) ∀A,B∈LX,A≤B⟹ω(A)≤ω(B), (iii) ∀A∈LX,A≤ω(A)．则定义ω为一个L-fuzzy保序算子．若A=ω(A),称A为LX的一个ω-集,记Ω={A∈LX:A=ω(A)}．称(LX,Ω)是L-fuzzy保序算子空间,记为L-保序算子空间．

定义2[6]设(LX,Ω)为L-保序算子空间,xα∈M*(LX),P∈LX．若存在Q∈Ω,使xα>Q并且P≤Q,则称P为xα的一个ω-远域．xα的所有ω-远域组成的集族记作ωη(xα)．若A∈LX且∀P∈ωη(xα)有A>P,则称xα为A的ω-附着点． 定义A的所有ω-附着点之并为A的ω-闭包,记为ωcl(A)．若ωcl(A)=A, 则称A是LX中的ω-闭集． (LX,Ω)中所有的ω-闭集构成的集族记作ωC(A)．若A为ω-闭集,称A′为LX中的ω-开集．

2 L-保序算子空间的ω-稠密度

L-保序算子空间中ω-稠密度的概念如下:

定义3[6]设(LX,Ω)是L-保序算子空间,A∈LX． 定义LF集A的势|A|=min{|φ|:φ⊆M*(LX),∨φ=A}．d(LX,Ω)=ω0+min{|A|:A∈LX,ωcl(A)=1X}记为(LX,Ω)的ω-稠密度．

注:ω为L-fuzzy闭包算子时, 上面的定义即指文献[7]中的稠密度．

在点集拓扑学中……