具时变耦合系数的二阶格点系统的拉回指数吸引子*

陈 宏, 周盛凡

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

格点动力系统是一类很重要的无穷维动力系统，在许多领域都有广泛应用，如电子工程、化学反应理论及生物学[1-3].目前,已有很多学者研究格点动力系统的渐近行为[4-6].

在无穷维动力系统的研究中，吸引子是一个中心概念.已经有许多关于格点动力系统的全局吸引子、一致吸引子、拉回吸引子的研究.但这些吸引子吸引轨道的速度有时很慢，且通常很难估计其吸引速度.而指数吸引子和拉回指数吸引子包含全局吸引子和拉回吸引子，且指数吸引所有有界集，是具有有限维数的正向不变集，是研究动力系统渐近行为的有效工具.在格点动力系统中，已经有一些研究成果[7-10].

本文证明了下面二阶非自治格点动力系统的拉回指数吸引子的存在性：

(1)

式(1)中：i∈Z,ui∈R,gi∈C(R,R); fi∈C1(R,R);ηi, j(t), j=-q,-q+1,…,q(q∈N)是关于t局部可积的，且λi,α是正常数.另外，在此基础上，还将得到这个吸引子的吸引速度和分形维数的上界.

1 预备知识

考虑系统(1)的初值问题，其向量形式可写为

(2)

式(2)中:

对λi,ηi, j, j=-q,-q+1,…,q, fi,gi(i∈ Z)作如下假设:

∀i∈ Z.

(3)

(H2)令η(t)={sup|ηi, j(t)|:i∈Z, j=-q,-q+1,…,q}<∞(q∈N),满足：

(H2b)存在连续的正值函数K0:R+→R+,使得

∀t∈R,l∈R+.

(4)

(H2c)存在I0∈N和η0>0,使得

sup {|ηi, j(t)|:|i|>I0,j=-q,-q+1,…,q}≤η0,∀t∈ R.

(5)

(H3)∀i∈Z，令fi∈C1(R,R),满足:

(H3A)存在一个正常数υ>1,使得

(6)

∀r,l∈R+,τ∈R.

(7)

(H4)g(t)=(gi(t))i∈Z∈G,其中

(8)

(9)

系统(2)等价于如下方程：

(10)

式(10)中:

2 拉回指数吸引子

下面证明由系统(10)的解确定的连续过程在空间l2×l2上存在拉回指数吸引子.在满足条件(H1)～(H4)时，首先证明这个连续过程存在一个一致有界闭的吸收集，然后给出了系统 (10) 的解的尾估计，最后证明系统(10)拥有一个拉回指数吸引子.

定理1假……