三维Lie-Poisson结构的保结构变换*

祝 玲， 赵晓华

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

动力系统理论是非线性数学理论的一个重要分支，而Hamilton系统则是动力系统理论和应用研究中的一类核心研究对象.实际上，动力系统理论正是法国数学家Poincare在19世纪末研究描述三体问题的Hamilton系统的稳定性的过程中萌发的.这类系统不仅广泛地存在于天体力学、等离子物理、航空航天等数理工程学科及生命科学甚至社会科学等诸多领域,而且它作为一类具有特别数学结构的非线性动力系统，其对动力学性质的深入认识和研究所产生的理论和方法对动力系统理论的形成和完善具有非常重要的价值.

一般的m维Hamilton系统是定义在Poisson流形(Rm,{5,5})上的常微分方程组[1-2],

(1)

或写为向量形式

▽H(x).

(2)

式(2)中:▽H(x)是H的梯度向量;H(x)为这个Hamilton系统的Hamilton函数;矩阵J(x)=(Ji j(x))为它的结构矩阵,满足条件：

1)反对称性：Ji j(x) =-Jji(x);

称它所定义的括号运算{F,G}为Poisson括号,

∀F,G∈C∞(Rm,R).

(3)

显然,任意一个反对称常数矩阵均是结构矩阵,可以定义一个Poisson括号.

若Poisson流形(Rm,{5, 5})上的非常数函数G∈C∞(M)满足条件:{F,G}=0,∀F∈C∞(M),则称函数G是这个Poisson结构的一个Casimir函数,它显然是系统(2)的首次积分.

称以这种线性结构矩阵定义的Poisson括号为Lie-Poisson括号,这是因为它与m阶Lie代数结构有同构关系.

(4)

即

(5)

相应地,Hamilton系统(2)被变换为另一个Hamilton系统,

(6)

为了研究Hamilton系统(1)的动力学行为,首先要对它进行化简.迄今为止,人们常常通过坐标变换化简Poisson结构矩阵来化简系统.实际上,有时在化简Poisson结构的过程中会使相应的Hamilton函数变得更加复杂,这样不仅没有达……