反常次扩散问题的有限元逼近

吴春红,刘青霞

(1.厦门理工学院应用数学学院,福建 厦门 361024;2.厦门大学数学科学学院,福建 厦门 361005)

1 预备知识

自然界与工程应用中存在很多扩散现象,如地下水溶质运移、污染物在土壤中的迁移、核废料的扩散、药物在身体中的扩散、石油渗流、湍流等,这些扩散现象一般不满足经典的Fick梯度扩散律,通常称为“反常”扩散．“反常”扩散现象很难用整数阶微分方程表征,近年来研究者们广泛采用分数阶微分方程来描述反常扩散过程,并求助数值方法进行模拟．文献[1]最早采用谱方法处理时间分数阶扩散方程,随后进行推广,将谱方法应用到空间时间分数阶扩散方程[2]．文献[3]采用有限元方法考虑空间分数阶对流-扩散方程．更多的文献均采用有限差分方法处理分数阶次扩散问题[4-6]．文献[7]采用Adomian分裂方法给出时间分数阶Klein-Gordon方程的解析近似解．本文尝试有限元方法处理分数阶导数施加于右侧扩散项的次扩散问题．

本文讨论下面带有初边值条件

u(x,0)=ω(x),x∈Ω=[0,L],

(1)

u(0,t)=u(L,t)=0,t∈[0,T]

(2)

的反常次扩散问题(ASFE):

(3)

其中Γ(·)是Gamma函数．

本文采用有限元方法求解上述ASFE问题,分别给出了其时间半离散、时间空间全离散形式,讨论了两种形式的稳定性、收敛性,并且给出数值例子与有限差分方法[5]进行比较,得到了较好的结果．

2 ASFE半离散格式

定义函数空间:

Hm(Ω)={v∈L2(Ω),

(4)

(5)

2.1 ASFE半离散格式

(6)

其中v(x,t)=u(x,t+τ)-u(x,t)．

为了方便,引入记号:

bs=(s+1)α-sα,s=0,1,2,…,n,

(7)

并对式(6)右端后两项分别进行如下逼近:

(8)

|Rn+1|≤C*(τ2+bnτα+1) (C*=

max{C1,C2})．

(9)

下面引入关于系数性质的引理[5]:

引理1 式(7)定义的系数bs满足:

(i)b0=1,bn>0,n=0,1,2,…;

(ii)bn>bn+1,n=0,1,2,…;

由引理1,截断误差式(9)满足:

(……