NA样本下分布函数估计的联合渐近分布

缪 芳, 朱海江, 秦永松

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

设{Xn}n≥1是一实值平稳NA随机样本序列,具有相同的未知分布函数F(x).未知分布函数的一个自然估计是经验分布函数,但经验分布函数有其不连续性的缺陷,所以用经验分布函数估计F(x)不尽理想.本文对固定的x∈R,采用如下核估计求解F(x)的估计:

(1)

式(1)中:K(5)为已知的分布函数;窗宽0

下面给出NA随机变量序列的定义.

定义1 若对{1,2,…,n}的任何2个不相交的非空子集A1与A2都有

Cov[f1(Xi),i∈A1,f2(Xj),j∈A2]≤0,

其中f1和f2是任何2个使得协方差存在的且对每个变元均非降(或对每个变元均非升)的函数,则称实值随机变量X1,X2,…,Xn(n≥2)是NA的.

文献[1]在提出正相协随机变量序列后,大量文献针对正相协样本进行了研究;文献[2]提出了负相协随机变量序列的概念,负相协样本虽没有正相协样本应用广泛,但在负相协样本情况下也得到了一些重要的结果.例如,文献[3]给出了NA情况的重对数律;文献[4]研究了NA序列加权和的完全收敛性;文献[5]得到了NA样本分布函数的递归型核估计的渐近性质;文献[6]研究了NA样本情形概率密度函数估计的相合性等.

对独立样本情形,许多学者研究了Fn(x)的性质,并且得到了比较完美的结果[7-10].对相协样本情形,文献[11-12]证明了Fn(x)几乎处处收敛于F(x)的速度;文献[12-13]获得了Fn(x)的渐近正态性.

在单点情形下,可以利用分布函数核估计的渐近正态性构造分布函数在某个点的置信区间,而将分布函数的核估计从单点估计推广到r个点处的估计后,不仅……