活跃在立体几何高考题中的明星四面体

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(北仑中学 浙江宁波 315800)

四面体是立体几何中最基本的空间图形，立体几何中的许多问题都可化归为四面体中的有关问题,它同时也是数学高考立体几何试题的重要载体之一.其中4个面都是直角三角形的四面体是高考试题中出现频率最高的基本图形，许多命题专家对它情有独钟，是四面体中的“明星”，其中2013年、2014年浙江省数学高考理科试卷中的立体几何大题，其原形均是“明星四面体”.本文先介绍“明星四面体”的有关性质，然后再介绍其应用，供大家参考.

1 明星四面体的定义及性质

图1

如图1，在四面体P-ABC中，若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，则称这个四面体为“明星四面体”，且它具有以下性质：

(1)四面体的4个面都是直角三角形;

(2)设点A在PB,PC上的射影分别为M,N,则MN⊥PB;

(4)设二面角B-AP-C的大小为α,∠PBA=φ，二面角A-PB-C的大小为θ,则tanθtanαsinφ=1.

证明(1)因为PA⊥平面ABC,所以

PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥CB,

于是△PAB,△PAC是直角三角形.又因为AC⊥BC,BC⊥平面PAC,所以△PBC也是直角三角形.故四面体的4个面都是直角三角形.

(2)由性质(1)可知BC⊥平面PAC,而AN⊂平面PAC,从而AN⊥BC.又因为AN⊥PC,AN⊥平面PCB,PB⊂平面PCB,所以AN⊥PB.由AM⊥PB,得PB⊥平面AMN,从而MN⊥PB.

(3)由性质(1)和性质(2)可知,∠BAC是二面角B-AP-C的平面角，即∠BAC=α，∠PCA是二面角P-BC-A的平面角，即∠PCB=β，∠AMN是二面角A-PB-C的平面角，即∠AMN=θ.令AC=m，则

AN=msinβ，AP=mtanβ，AB=msecα.

在Rt△APB中，AM⊥PB，从而

在Rt△AMN中，

由Rt△AMN∽Rt△PCB,得

于是

由Rt△APN∽Rt△CNA,得

即

于是

tanθtanαsinφ=1.

2 明星四面体的明星作用

(1)证明：DE⊥平面ACD.

(2)求二面角B-AD-E的大小.

(2014年浙江省数学高考理科试题第20题)

分析本题的第(1)小题相对比较容易，关键是第(2)小题.命题组给出的参考答案介绍了2种方法:其一是直接作二面角B-AD-E的平面角，这个平面角“生长”在一个斜三角形之中，解这个斜三角形得到结论，其运算过程比较复杂；……