为何“殊途同归” 难道原本“近亲”
——高三数学解题教学偶得

●

(戴南高级中学 江苏兴化 225721)

1 问题的提出

先看一道例题:

解法1设t1=1-x2≤1,则

当t1=0时，y=0;

解法1较繁琐，在换元后得到的仍是一个分式函数，而解法2却很简单，在换元后就变成了一个二次函数(多项式函数).

问题1解法1与解法2所得的2个函数可以互化吗？

问题2虽然函数不同，但却“殊途同归”，难道分式函数与多项式函数原本“近亲”？

2 问题的解决

2.1 问题1的解决

即解法1所得函数可以转化为解法2所得函数，反之，解法2所得函数也可以转化为解法1所得函数，这说明2者是可以相互转化的.

2.2 问题2的解决

为什么分式函数与多项式函数可以相互转化呢？是不是所有的分式函数与多项式函数都可以相互转化呢？这背后又隐藏着怎样的代数原理呢？这一连串的问题不得不引起我们的思考.

在中学数学所涉及的基本初等函数中，幂函数实际上是很值得深入研究的函数.因为由幂函数与幂函数的复合或加减乘除可以得到很多复杂的函数，比如：多项式函数、分式函数、无理函数，而这些复杂函数的值域也一直是中学数学的难点，可奇怪的是教材对幂函数的研究却浅尝辄止，甚是可惜.因此多项式函数与分式函数具有共同的祖先——幂函数,既然具有共同的祖先，当然是“近亲”，也就必然可以互化了.

3 问题的拓展

问题3在中学数学中，还有类似的“近亲”问题吗？答案是肯定的.

解由不等式ax2-bx+6>0的解集为(-2,3),可得：x1=-2，x2=3是方程ax2-bx+6=0的2个根且a<0,则

评析不等式与方程具有共同的祖先——函数，因此我们可以直接由不等式的解集得到方程的根，这也是教师经常强调的3个“二次”之间的关系.