线性模型中数据扰动对模型参数的影响

程鹏鹏，曹连英

(东北林业大学，哈尔滨150040)

线性模型是一类统计模型的总称，它包括线性回归模型、方差分析模型、协方差分析模型和线性混合效应模型等.线性模型在许多生物、医学、经济、管理、地质、气象、农业、工业、工程技术等领域都普遍使用.因此线性模型成为现代统计学中应用最为广泛的模型之一[1].

经典最小二乘方法假设自变量的观测是精确的，仅仅因变量存在测量误差.事实上，这种假设是不现实的，自变量在取样、人为、仪器误差的影响下同样存在误差扰动.因此需要含误差变量的线性模型，我们把自变量带有误差的模型简称EIV模型.近几年EIV模型以及关于模型的深入探索Fekri and Ruiz － Gazen[2]和 He Xuming and Liang Hua[3]等都对这一模型进行了进一步的研究.

本文基于矩阵扰动分析理论，给出线性模型在扰动下仍然可估的充分条件，并进一步讨论了线性模型数据扰动对模型参数的影响，给出参数的扰动估计式.

1 预备知识

设线性模型

其中y为n×1观测向量，X为n×p的设计矩阵，β为p×1未知参数向量，e为随机误差，σ2为误差方差 σ2＞0.

若 rank(Xn×p)=p，则 X'X 可逆，这时=X'X－1X'y，且有)，即是β的无偏估计，这时我们称=X'X－1X'y为β的最小二乘估计.

若 rank(Xn×p)＜ p，则不是β的无偏估计，表明β没有线性无偏估计，此时我们称 β 是不可估的[4].

引理1[5]A是Hermite阵并且是满秩矩阵，其特征值为λ1≥λ2≥…≥λn;A+E为Hermite阵其特征值为1≥2≥ … ≥n，如果 η = ‖A－1/2EA－1/2‖2≤1，其中 A1/2为 A 的 Hermite平方根，那么有

2 线性模型参数的可估性

实验中得到的数据与实际数据之间会有误差，这就会出现数据的扰动问题，进而会影响线性模型的参数……