一类三阶非线性色散方程的不变子空间和精确解

朱春蓉，窦彩玲

(安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000)

一类三阶非线性色散方程的不变子空间和精确解

朱春蓉，窦彩玲

(安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000)

本文给出了一类三阶非线性色散方程的不变子空间，并通过不变子空间方法构造了方程中一些方程的精确解.由此得到一些方程的尖峰孤子解、紧孤子解和爆破解.

非线性色散方程；不变子空间方法；尖峰孤子解；紧孤子解；爆破解

[1]中，Degasperis和Procesi研究了一类三阶非线性色散方程

(1)

本文旨在给出在方程(1)中非线性微分算子F[u]允许的不变子空间，并在这些不变子空间中构造相应方程的精确解，从而得到这类方程中一些方程的尖峰孤子解、紧孤子解和有限时间爆破解，其中包括Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程的尖峰孤子解.

1 不变子空间方法

考虑一般的演化方程

ut=G[u],

(2)

其中G[u]是一个k-阶微分算子，且G[u]≡G(x,u,ux,uxx,…)关于括号内的变量充分光滑.给定一个由n个线性无关的函数f1(x),…,fn(x)扩张而成的线性空间Wn=L{f1(x),…，fn(x)}．如果G[Wn]⊆Wn,则称算子G允许线性子空间Wn，或者称线性空间Wn在算子G作用下不变，即存在函数ψi,使得

如果算子G允许子空间Wn,则方程(2)有解形如

(3)

其中ci(t)满足n维动力系统

如果算子G允许的子空间Wn是由线性常微分方程

L[y]≡y(n)+an-1(x)y(n-1)+…+a1(x)y′+a0(x)y=0

(4)

解空间定义的，则Wn在算子G作用下的不变条件为

L[G[u]]|[H]≡0，

(5)

其中[H]表示方程L[u]=0及其关于x的微分结果.由不变条件可以推导出下面关于不变子空间方法中重要的维数定理[7].

定理1如果线性子空间Wn在k阶微分算子G作用下不变，则n≤2k+1.

由定理1知，在考虑方程(1)中微分算子F由方程(4)定义的不变子空间，要分别考虑n=2,…,7.在本文中，我们考虑微分算子F由常系数常微分方程

L[y]≡y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y′+a0y=0

(6)

定义的不变子空间，并在这些不变子空间中构造方程(1)的解.这里及下文中ai均表示常数，并使用下面的记号

2 微分算子F[u]允许的不变子空间

2.1二维不变子空间

在本小节，我们分别考虑方程(1)中微分算子F[u]允许的由方程

L2[y]≡y″+a1y′+a0y=0

(7)

定义的不变子空间.此时，不变条件为

L2[F[u]]|[H2]=D2F+a1DF+a0F|[H2]=0，

(8)

其中[H2]表示方程L2[u]=0及其关于x的微分结果.经过计算(8)式左端为关于u1和u0的多项式

由此，我们得到关于ai和ci的约束条件

求解此方程组，我们得到下面的结果：

情形1a0=0

情形2a0≠0

由此，我们得到下面的定理.

定理2有四个形如F[u]的非线性微分算子允许由(7)式定义的二维不变子空间W2，它们为

2.2三维、四维、五级、六维和七维不变子空间

在本小节，我们根据上述类似的计算方式，分别给出在方程(1)中非线性微分算子F[u]允许的由方程(6)定义的三维、四维、五维、六维和七维不变子空间.

定理3有三个形如F[u]的非线性微分算子允许由(6)式(n=3)定义的三维不变子空间W3，它们分别为

定理4有三个形如F[u]的非线性微分算子允许由(6)式(n=4)定义的四维不变子空间W4，它们分别为

定理5仅有一个形如F[u]的非线性微分算子允许由(6)式(n=5)定义的五维不变子空间W5，它们是

定理6仅有一个形如F[u]的非线性微分算子允许由(6)式(n=6)定义的六维不变子空间W6，它们是

定理7没有形如F[u]的非线性微分算子允许由(6)式(n=7)定义的七维不变子空间.

3 例子

例1由定理3知，方程

(9)

有解形如

u=b0(t)+b1(t)exp(a1x)+b2(t)exp(-a1x)，

其中bi(t)(i=0,1,2)满足常微分方程组

u=b0+b1exp(a1x+At)+b2exp(-a1x-At)，

u=λexp(-|a1x+At|).

u=b0+b1(t)exp(a1x)+b2(t)exp(-a1x)，

其中b1(t),b2(t)均是任意函数.另外，取c0=-γ/α2，可以验证Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程都有解形如

其中b1(t),b2(t)均是任意函数.由此，可以构造这两个方程尖峰孤子解形如

由上节中的结论及类似于例1中的计算，我们可以得到下面的例子.

例2方程

(10)

有解

例3方程

例4方程

具有有限时间爆破解

方程

具有有限时间爆破解

方程

具有有限时间爆破解

参考文献：

[1] DEGASPERIS A, PROCESI M. Asymptotic integrability. In symmetry and perturbation theory[C]. Singapore: World Scientific, 1999,23-37.

[2] DRAZIN P G, JOHNSON R S. Soliton: an introduction[M]. Cambridge: Cambridge University, 1989.

[3] MCKEAN H P. Global analysis Springer lectures notes in mathematics[R]. New York: Springer, 1979,755.

[4] LENELLS J. Conservation laws of the camassa-holm equation[J]. J Phys A: Math Gen, 2005,38:869-880.

[5] FOKAS A, FUCHSSTEINER B. Symplectic structure, their bcklund transformation and hereditary symmetries[J]. Physica D, 1981,4:47-66.

[6] DEGASPEIS A, HOLM D D, HONE A N W. A new integral equation with peakon solutions[J]. Theor Math Phys, 2002,133:1463-1474.

[7] GALAKTIONOV V A, SVIRSHCHEVSKII S R. Exact solutions and invariant subspaces of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics[M]. London: Chapman and Hall/CRC, 2007.

[8] ZHU C R, QU C Z. Classification and reduction of generalized thin film equations[J]. Commun Theor Phys, 2009,52:403-410.

[9] QU C Z, ZHU C R. Classification of coupled systems with two-component nonlinear diffusion equations by the invariant subspace method[J]. J Phys A: Math Theor, 2009,42(475201):1-27.

[10] ZHU C R， QU C Z. Maximal dimension of invariant subspaces admitted by nonlinear vector differential operators[J]. J Math Phys, 2011,52(043507):1-15.

[11] MA W X, LIU Y P. Invariant subspaces and exact solutions of a class of dispersive evolution equations[J]. Commun Nonlinear Sci Number Simulat,2012,17:3795-3801.

ExactSolutionsandInvariantSubspacesofaFamilyofThirdOrderNonlinearDispersiveEquations

ZHU Chun-rong, DOU Cai-ling

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

Invariant subspaces of a family of third order nonlinear dispersive equations are given. Then exact solutions of some equations within this family are constructed by invariant subspaces method. Peakon solutions, compacton solutions and blow-up solutions of some equations are obtained.

nonlinear dispersive equation; invariant subspace method; peakon solution; compacton solution; blow-up solution

2013-09-20

国家自然科学基金(11301007，11126237)；安徽师范大学博士科研资助计划项目(160-751024).

朱春蓉(1979-)，女，汉族，博士，副教授，硕士生导师，从事数学物理方向的研究.

朱春蓉，窦彩玲.一类三阶非线性色散方程的不变子空间和精确解[J].安徽师范大学学报：自然科学版，2014，37(1)：20-25.

O175.2

A

1001-2443(2014)01-0020-06

引言