高考中的实际应用问题

向清耀

高考题是风向标，是导航仪！近两年数学高考题在应用能力命题方面是如何考查的？考查哪些知识？有哪些创新？对考生有哪些能力要求？笔者就近两年高考中主要的几类应用问题进行分析.

一、古典版“新问题·新思考”

例1 （2014年高考湖北卷—19）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量[X] （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量[X]限制，并有如下关系；

[ 年入流量[X]＼& [40120]＼&发电机最多运行台数＼& 1＼& 2＼&3＼&]

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

分析 此题属于概率传统题型，考查期望方差，第一问较简单，考查概率统计的[N]次独立重复试验恰好发生[K]次的概率，但第二问中，要求考生能够根据题意，分1，2，3台发电机三种情形进行讨论，分别求出期望值，再比较最值得出结论.

解 （1）依题意得，[p1=p（40

[p2=p（80≤x≤120）=3550=0.7]，

[p3=p（x>120）=550=0.1].

由二项分布知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为：

[p=C04（1-p3）4+C14（1-p3）3=（910）4+4×（910）3×（110）=0.9477.]

（2）记水电站年总利润为[Y]（单位：万元）.

①安装1台发电机的情形……