一道高考题的解法赏析

李涛

例 （2014年高考辽宁卷—16）对于[c>0]，当非零实数[a，b]满足[4a2-2ab+4b2-c=0]且使[|2a+b|]最大时，[3a-4b+5c]的最小值为 .

分析 本题主要考查最值求解的基本策略，常规做法是利用函数思想来变形与把握，其间运用到函数与方程、不等式等基本性质，是一道入口较宽，做法多样，同时又能很好区分不同思维层次的好题目.

解法一（方程思想） 不妨令[t=2a+b]，则[2a=t-b].

代入原方程可得，[6b2-3tb+t2-c=0].

由上述方程是关于[b]的二次方程有实数根可知，

[Δ≥0?t2≤85c].

从而[|2a+b|]取最大值[8c5]，此时[c=5t28]，

易求[b=t4]，代入[2a+b=t]，则可得[a=3t8].

于是[3a-4b+5c][=8t-16t+8t2=8（1t-12）2-2≥-2]，

当且仅当[t=2]时，[a=34，b=12，c=52]，此时[3a-4b+5c]有最小值-2 .

点拨 本题的关键是如何把握众多未知参数的关系，考虑已知题设方程的二次型结构，利用判别式法较好地生成了[a]与[b]的关系均用[t]去表现，以[t]为主元，利用函数的思想方法，为后续问题的研究打开了局面.

解法二（三角换元） 将[4a2-2ab+4b2=c]变形为[（2a-b2）2+15b24=c]，

令[2a-b2=ccosθ]，[152b=csinθ]可得，

[2a=c15sinθ+ccosθ]，[b=2c15sinθ].

则[|2a+b|=c|315sinθ+cosθ|]

=[8c5|sin（θ+φ）|≤8c5]（其中[tanφ=153）]，

当且仅当[θ+φ=kπ+π2（k∈Z）]时，等号成立.

即[tanθ=cotφ?sinθcosθ=315=15b22a-b2]，

可得[2a=3b].

此时[2a+b=8c5]联立可得[a=3b2，c=10b2].

所以[3a-4b+5c][=2b-4b+12b2][=12（1b-2）2-2≥-2].

当且仅当[b=12]时，[a=34，c=52]，此时[3a-4b+5c]有最小值-2.

点拨 从关于[a，b]的二次式容易联想到圆[x2+y2=r2]的三角参数方程[x=rcosθ，y=rsinθ，]但难点是先要视“[c]”为常数，将[a，b]分别用参数[θ]去代换，从而实现多元向一元转换，最终利用三角函数的有界性解决问题.

解法三（均值不等式） 同解法二有[（2a-b2）2+15b24=c]，

可变形为[（2a-b2）2+53（3b2）2=c]，

由均值不等式的性质可得，

[（2a-b2）2+5c8≥25c8|2a-b2|]，

[53（3b2）2+3c8≥25c8|3b2|]，

将以上两不等式相加可得，

[2c≥25c8（|2a-b2|+|3b2|）≥25c8|2a+b|]

即[|2a+b|≤8c5].

当且仅当[2a-b2=5c815b2=3c8]，即[2a=3b]时，等号成立.

此时[2a+b=8c5]，以下同解法二.

点拨 从已知等式配方后的结构中考虑到[2a+b=（2a-b2）+3b2]，则需从二次式转换到一次式，此时均值不等式就派上了用场.

解法四（柯西不等式） 由[4a2-2ab+4b2=c]可得，

[（2a+b）2=3（4a2+3b2）-2c]，

根据柯西不等式的性质知

[（4a2+3b2）（1+13）≥（2a+b）2.]

从而[13[2c+（2a+b）2]?43≥（2a+b）2]

[?（2a+b）2≤8c5][?|2a+b|≤8c5]，

当且仅当[……