机械波动能与势能同步问题的深入分析

张栖宁 冯 杰 苏秋霞 汤奕楠

（上海师范大学数理学院 上海 200234）

1 机械波的定义及其产生的条件

机械振动在弹性介质中的传播称为机械波.在弹性体内部的机械波的产生条件：我们一般把弹性体称为弹性介质，在弹性介质中，各质点间是以弹性力互相联系着的.如果介质中有一个质点A，因受外界扰动而离开其平衡位置，A点周围的质点就将对A作用一个弹性力以对抗这一扰动，使A回到平衡位置，并在平衡位置附近做振动.与此同时，当A偏离其平衡位置时，A点周围的质点也受到A所作用的弹性力，于是周围质点也离开各自的平衡位置，并使周围质点对其邻接的外围质点作用弹性力，从而由近及远地使周围质点、外围质点以及更外围的质点，都在弹性力的作用下陆续振动起来.这就是说，介质中一个质点的振动引起邻近质点的振动，邻近质点的振动又引起较远质点的振动，于是振动就以一定的速度由近及远地向各个方向传播出去，形成波动.由此可见，机械波的产生条件为：一是要有做机械振动的物体，亦即波源；二是要有能够传播这种机械振动的介质，只有通过介质质点间的相互作用，才可能把机械振动向外传播［1］.

2 机械波的能量

众所周知，机械波在传播机械振动这种运动形式的同时也伴随着振动能量的传递，所以波的传播过程既是振动的传播过程，又是能量的传递过程.那么机械波的能量是怎样产生又有什么特点呢？

2.1 机械波能量的来源

当波在介质中传播时，介质中的所有质元都在各自的平衡位置附近振动，每个质元都具有振动速度，所以具有动能；同时由于介质元都发生压缩或伸张形变（纵波）或切形变（横波），介质因而具有弹性势能.动能和势能的总和就是该介质元的总机械能.因此波传到哪里，哪里就有机械能.这些机械能来自于波源.在介质元不迁移的情况下传递能量是介质波动的基本性质.那么介质中各质点是否与做简谐运动的谐振子一样机械能守恒呢？

2.2 机械波的能量公式

下面以简谐纵波在一棒中沿棒长方向传播为例，推导出波的能量公式.

图1 棒中波动的分析

如图1所示，取x轴沿棒长方向，设波动方程为

式中u为波传播的速度.在波动过程中，棒中每一小段将不断地压缩和拉伸.

在棒上任取一体积元（注意：是体积元，而不是质点）BC，体积dV，棒在平衡位置时，B，C坐标分别为x和x＋dx，即BC长为dx.设棒的横截面积为S，质量密度为ρ，体积元能量为dW＝dWk＋dWp.

其中，体积元的动能为

式（1）中的v为棒上体积元振动的速度.势能由以下推导求得：设t时刻，A 和B端位移分别为y，y＋dy，所以，体积元伸长量为dy.设在体积元端面上由于形变产生的弹性恢复力大小为f，可知，协强为，根据我们熟知的胡克定律，按照杨氏弹性模量定义，有

式中Y为杨氏弹性模量.则有

按照胡克定律，在弹性限度内弹性恢复力值为

从机械波能量的公式可以看出，质元的动能和势能两者相位一致，动能与势能同时达到最大或最小，同处达到最大或最小，即机械波动能与势能同步.而且在波的传播过程中，介质中每个质元的机械能不守恒，而是随时间变化的［2］.

2.3 机械波动能与势能同步

为了更形象、更深刻地理解“机械波传播的介质中各体元的动能和势能问题”，笔者从定性方面讨论一下波动中能量的变化过程.为简明计，只讨论平面简谐横波在各向同性均匀介质中传播时的情况，如图2表示横波在介质中的传播（由于介质各向同性，只讨论一个平面的情况）的放大图.

图2 体元处于平衡位置

在介质内任取一小体元dV（宏观足够小，微观足够大），其平衡位置为A，当波在介点中传播时，该体元在位置A附近上下振动，由于具有振动速度，产生振动动能dEk；在振动的同时，体元dV发生形变，具有形变势能dEp，体元中总能量dE＝dEk＋dEp.

（1）当体元dV处于平衡位置A时（如图2），其振动速度v达最大，因而动能dEk∝v2达最大；同时，由于A处于左右两平面的位移方向相反，相互拉伸，因而相对形变最大，而势能dEp∝δ2（其中δ表示形变），所以此时势能也最大.

（2）当体元dV处于最大位移时（如图3），振动速度v＝0，因而dEk＝0，此时，体元内部各部分位移相等且同向，形变为零，因而dEp＝0.

图3 体元处于最大位移

（3）体元dV处于平衡位置与最大位移之间的一般位置时（如图4），动能和势能同时增大，同时减小，任一时刻两者都有相等的值.

图4 体元处于一般位置

因此，质元的动能和势能两者相位一致，动能与势能同时达到最大或最小，机械波动能与势能同步.体元总能量dE是时刻在变化的.在平衡位置时，体元从附近介质中吸收能量，能量达到最大值；到最大位移处，体元放出能量，减小为零［3］.这样，体元就与其附近体元交换能量.因此，波动过程也是能量传播过程，能量沿波的方向传播出去.

另外，大家都知道，在简谐波中，介质中各部分由于弹性力的作用，依次重复振源的振动，并依此导出简谐波的表达式，但介质内各部分的振动并不完全与简谐振子的振动相同.因为简谐振子系统是一个孤立的系统，弹簧振子或扭摆等振动系统中线性回复力为弹性力（或力矩），它们是保守力（或力矩），所以简谐振动系统的总机械能守恒.对单个谐振子，当动能最大时，势能最小为零，当势能最大时，动能最小为零.而波动中介质各部分就不能看作一个孤立的系统，每一部分都与附近的介质有相互作用，能量时刻在变化，波的传播过程中，介质中的任一质元与其邻近的质元之间在不断进行能量交换，机械能不守恒，正表明波的传播过程也是能量的传播过程.而且在能量的表达式中，含有行波的相位传播因子（ωt －kx ），因此能量传输速度等于波的相速度

所以相位传播 —— 运动状态传播 —— 能量传输，三者是一致的［4］.

2.4 机械波能量传递的本质

能量的传递必须通过做功过程而实现，机械波的能量传递也不例外.

图5 机械波的传递

图5所示为一列沿绳子向右传播的简谐横波在某一时刻的波形图.A，B，C为绳子上3个相邻的质点.由于波是由A传向B，再传向C的，所以B质点的振动是由于A质点的振动使绳子发生形变而产生的弹力F带动的.很明显，这个弹力对A做负功而对B做正功，使A质点不断释放能量，而使B质点不断吸收能量，使能量从A传递给B.同理C质点又是B质点带动的，因此B质点又不断地向C质点传递能量.但应该注意每一质点在任一小段时间ΔtΔt→0（）内，从前一质点吸收的能量并不等于向后一质点释放的能量.如图5中的质点B，此时由于两侧介质的形变大小不同，两侧质点A，C对它的弹力也就不同，左侧形变小、弹力小，右侧形变大、弹力大，因此在这一时刻附近的一小段Δt（Δt →0）内，A对B做正功小于C对B做的负功，也就是说B从A吸收的能量小于B向C释放的能量.因而B向上离开平衡位置的过程中总能量是减少的.同理，在B返回平衡位置的过程中总能量又是增加的.这样通过介质之间相互作用力做功，使每一质点周期性的积累能量和释放能量实现了能量随波的传递［5］.

综上所述，机械波在传播过程中，每一时刻介质中各处的能量（严格来说是能量密度）在波的传播方向上呈现周期性的分布，是不均匀的，而每一质点的能量也是随时间周期性变化的，是不守恒的.能量的传播是通过质点之间的相互作用力做功来实现的.

在关于“机械波传播的介质中各体元的动能和势能同步”的问题上，大多数课本中只是运用数学公式导出“动能和势能同时达到最大，又同时减小为零”的结论，同学们往往不能达到较深层次的理解.本文定性地讨论了波动中能量的变化过程，从而使学生对机械波动能与势能的同步、在波的传播过程中，介质中每个质元的机械能不守恒、波的传播过程也是能量的传播过程以及机械波能量传递的本质等问题有较好的体会和认知，而不只是死记硬背结论.

1 戚伯云，杨维纮.力学.北京：科学出版社，2011.242～243

2 冯杰.大学物理专题研究.北京：北京大学出版社，2011.126～129

3 漆安慎，杜婵英.力学.北京：高等教育出版社，2005.342～344

4 徐铭.怎样理解机械波的能量.教材教法，2005，34（5）：14～15

5 杨周林.浅谈机械波的能量及其传递.物理教师，1999，20（7－8）：42