浅谈小波分析及其应用

庸国祥　崔新

摘 要：本文介绍了小波分析的产生与发展，并就其原理和数学描述给给出了说明，进一步说明了小波分析在消除噪声方面的应用原理与方法，着重进行了非平稳信号小区噪声的研究，进行了算法研究和仿真实验。

关键词：小波分析；小波去噪；非平稳信号；matlab仿真 小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近10年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。传统的信号分析是建立在Fourier变换的基础之上的。虽然Fourier变换能够分别从信号的时域和频域进行观察分析，但却不能把二者有机地结合起来，其Fourier谱是信号的统计特性，是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的能力，不具备时域信息。因此，Fourier分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。

小波分析属于时频分析的一种，是一种信号的时间——尺度、时间——频率的分析方法，它继承和发展了Fourier分析理论。它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但形状可改变，且时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。

小波分析在时域、频域同时具有良好的局部化性质，能较好地解决突变信号与非平稳信号的问题。它在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的“显微镜”。

一、小波分析原理及其数学描述

小波分析是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可改变，时问和率窗都可改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率较低的时间分辨率，即在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨使小波变换具有对信号的自适应性。

二、小波去噪原理

小波消噪（滤波）方法有模极大值方法，尺度空间滤波、阈值法等。利用信号和噪声在小波变换尺度空间表现出的不同特征：信号小波变换的系数随尺度的增大而增大，而白噪声、尖脉冲的幅值、方差、模极大值的稠密度随尺度的增大而减小，因此对于含噪声的信号进行小波分解，重构可以对信号滤波。

这里主要介绍阈值滤波的方法。

首先，对信号进行多尺度一维小波分解，如图1用信号S的三尺度分解进一步说明多分辨分析。从图中可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高频部分则不予以考虑，分解具有关系：S=A3+D3+D2+D1，A为信号低频部分，D为信号高频部分。然后，可以以门限阈值等形式对小波系数进行处理。最后，对信号进行重构即可以达到消噪的目的。

三 、小波去噪的研究

噪声通常被认为是有害信号，一般情况下应被抑制，然而，噪声中也可能包含许多有用信息，如机电一体化设备运行中所产生的噪声，就在一定程度上包含了反映其工作情况，状态信息或参数等内容，因为这些设备在运行时，其中力、速度、加速度的变化以及振动的振幅、频率等信息都会以噪声的形式表现出来。如果能采集、记录到这样的噪声信号并对其进行必要的处理，就能从中提取到机电设备的工作情况、状态参数等重要信息，还能以此作为我们对其进行监控的手段之一。利用噪声信号中的有用信息进行机电设备的故障诊断或状态监控，关键之处就是要对它进行合适的处理，因为在生产现场所采集到的噪声信号非常繁杂且数据量很大，这其中有不少是无用数据，若不进行处理的话，很难获得我们想要的信息。在实际的工程应用中，所分析的信号可能包含许多尖峰或突变部分，并且噪声也不是平衡的白噪声，对这种信号进行分析，首先需要作信号的预处理，将信号的噪声部分去除，提取有用信号。对这种信号的消噪小波分析由于能同时在时、频域中对信号进行分析，所以它能有效地区分信号中的突变部分和噪声，从而实现信号的消噪。

1、小波分析用于降噪的过程

小波分析用于降噪的过程，可细分为如下几段。

1）分析过程：选定一种小波，对信号进行N层小波（小波包）分解；

2）作用阈值过程：对分解得到的各层系数选择一个阈值，并对细节系数作用软阈值处理；

3）重建过程：降处理后的系数通过小波（小波包）重建恢复原始信号。

这个过程基于下如基本假设，即携带信息的原始信号在频域或小波域的能量相对集中，表现为能量密集区域的信号分析系数的绝对值比较大，而噪声信号的能量谱相对分散，所以其系数的绝对值小，这样我们就可以通过作用阈值的方法过滤掉绝对值小于一定阈值的小波系数，从而达到降噪的效果。

2、用小波分析对非平稳信号消除噪声

在一个方波信号上加入一个高斯白噪声，再将其分别用小波分析和傅里叶变换进行信号噪声消除。

1）小波基的选择：

作为小波的函数，它一定要满足容许条件，在时域一定要是有限支撑的，同时，也希望在频域也是有限支撑的，但若时域越窄，其频域必然是越宽，反之亦然。在时域和频域的有限支撑方面往往只能取一个折中。此外，希望由母小波形成的是两两正交的；进一步希望有高阶的消失矩，希望与相关的滤波器具有线性相位等等。这里选择的是sym小波，又称为正交小波，它是双正交小波，并是紧支撑的，且接近对称（故所用的滤波器可接近于线性相位）。

2）小波多尺度分解各子带系数的特点及噪声影响

对图像的小波变换覆盖了图像频带90%的小波系数集中在21、22、23它们包含了大部分图像信息，所以可以只考虑这三个尺度的信息，而尺度2j> 23的信息保留在图像的低频分量中。随着层数的增加，小波系数的范围越来越大，说明较低层的小波系数具有更重要的地位。分辨率最低时，该子带小波系数的范围比别的子带小波系数范围宽，值和方差都比别的要大，说明这些小波系数同样具有重要地位。

在各个子带做特征提取之前，应首先考虑图像中噪声对子带系数的影响。根据Donoho的理论对含噪图像连续做几次小波分解之后，由空间分布不均匀的干净图像所对应的各尺度上小波系数在某些特定的位置有较大的值，这些点对应干净图像的畸变位置和重要信息，而其它大部分位置的值较小；对于白噪声而言，它对应的小波系数在每一尺度上的分布是均匀的，并随着尺度的增加，系数的幅值有所减小。可以看出，噪声的影响主要集中在最高频子带中。因此考虑消噪问题时，可根据噪声小波分解的系数的特点找一个合适阈值λ，把低于λ的小波系数视为主要由噪声引起的设为0，而高于λ的予以保留，对最高频子带可提高阈值以减少噪声影响。

结语

本文基于小波分析在时域、频域同时具有良好的局部化性质，提出了应用小波分析方法对含噪声速变信号进行信噪分离处理，以及对速变数据突变点进行特征提取。小波分析有傅立叶分析不可比拟的优点。可见小波分析方法对飞行器遥测参数的数据处理及分析是非常有意义的一种方法。

[参考文献]

[1]胡广书，现代信号处理教程，清华大学出版社，2004.

[2]徐长发、李国宽，实用小波方法，华中科技大学出版社，2001.

[3]董长虹，Mablab小波分析工具箱原理与应用，国防工业出版社，2004.

[4]小波分析理论与MATLAB实现，电子工业出版社，2005.

[5]胡昌华、李国华，基于MATLAB6.X的系统分析与设计―小波分析，电子工业出版社，1999.

（作者单位：山东省潍坊学院，山东 潍坊 261040）