求和∑与积分∫的若干性质比较研究

摘要：积分是连续的数学工具，求和是离散的数学工具。积分与求和本质上没有区别，就像一对孪生兄弟，只是适用对象不同，一个用于连续的数学对象——函数，一个用于离散的数学对象——数列。本文总结了求和与积分的若干性质，发现求和与积分的性质是基本平行的，求和的性质一般都可以平行地推广到积分上。

关键词：求和；积分；性质；比较；研究

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）23-0118-02

众所周知，积分是经过分割、近似求和、取极限三个步骤得到的。有人说积分就是一种特殊的求和。积分的英文单词是“integration”，就是结合、一体化、累积的意思。积分是用于函数的数学工具，而求和是用于数列的数学工具。积分是连续的数学工具，求和是离散的数学工具。积分与求和本质上没有区别，就像一对孪生兄弟，只是适用对象不同，一个用于连续的数学对象——函数，一个用于离散的数学对象——数列。

与积分和求和的区别和联系相仿的两外两个数学工具是导数（微分）和差分。导数（微分）是用于函数的，而差分是用于数列的。函数可以存在高阶导数，数列可以存在高阶差分。

定义 数列{ai}的一阶差分为Δai=ai+1-ai，k阶差分为Δkai=Δ（Δk-1ai）

我们把求和与积分的性质对比如下。

性质1 求和的值与下标无关ai=aj=ak

性质1' 定积分的值与积分变量无关f（x）dx=f（t）dt=f（u）du

由性质1和性质1'，我们知道求和下标i与积分变量x都是哑变量。

性质2 数乘性kai=kai

性质2' 数乘性kf（x）dx=kf（x）dx

性质3 可加性（ai±bi）=ai±bi

性质3' 可加性（f（x）±g（x））dx=f（x）dx±g（x）dx

性质4 区间可加性ai+ai=ai

性质4' 区间可加性f（x）dx+f（x）dx=f（x）dx

性质5

ai≤ai

性质5'

f（x）dx≤f（x）dx

性质6 设M和m分别是数列{a}的最大值和最小值，则nm≤ai≤nM

性质6' 设M和m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m（b-a）≤f（x）dx≤M（b-a）（a

性质7 设f'（x）在区间[a，b]上连续，则f'（x）dx=f（b）-f（a）

性质7' Δai=an+1-a1

从性质7和性质7'，我们可以看到定积分的牛顿——莱布尼茨公式（性质7）平行推广到数列求和的性质7'，积分变成了求和，导数f'（x）变成了差分Δai，函数增量f（b）-f（a）变成了数列增量an+1-a1。我们可以看出性质7和性质7'，并无本质上的区别，只不过一个是关于函数的性质，一个是关于数列的性质，性质7'的证明非常简单，小学生就可以完成；而性质7（牛顿——莱布尼茨公式）人类到了17世纪才发现，并且由大科学家牛顿、莱布尼茨创立。我们现在能够发现简单的性质7'和相对复杂的性质7并无本质上的区别。我们要从身边简单的对象入手，探索发现科学上复杂的结果。

性质8 分部积分公式u（x）v'（x）dx=[u（x）v（x）]-v（x）u'（x）dx

性质8' 分部求和公式aiΔbi=anbn+1-a1b1-Δaibi+1

从性质8和性质8'，我们可以看出二者之间也无本质上的区别。积分变成了求和，导数v'（x）变成了差分Δbi，函数增量[u（x）v（x）]变成了数列增量anbn+1-a1b1。

通过上述性质我们发现，积分及求和是普遍联系的。求和具有的性质，积分也有；反过来，积分具有的性质，求和也基本具有。但是，需要我们注意的是，定积分中值性质就不能平行推广到求和。

我们在高等数学教学过程中，就是要经常给同学总结和比较不同数学对象的类似性质，用同学熟悉的求和的性质来对比不熟悉的积分的性质，以便于学生对积分的性质理解和掌握更加到位。

参考文献：

[1]李心灿，季文铎，余任胜，等.大学生数学竞赛试题解析选编[M].北京：机械工业出版社，2011.

[2]谢惠民，恽自求，易法愧，等.数学分析习题课讲义（下册）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

作者简介：吴楠（1983-），男，河北三河人，博士，讲师，研究方向：主要从事复分析研究。

摘要：积分是连续的数学工具，求和是离散的数学工具。积分与求和本质上没有区别，就像一对孪生兄弟，只是适用对象不同，一个用于连续的数学对象——函数，一个用于离散的数学对象——数列。本文总结了求和与积分的若干性质，发现求和与积分的性质是基本平行的，求和的性质一般都可以平行地推广到积分上。

关键词：求和；积分；性质；比较；研究

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）23-0118-02

众所周知，积分是经过分割、近似求和、取极限三个步骤得到的。有人说积分就是一种特殊的求和。积分的英文单词是“integration”，就是结合、一体化、累积的意思。积分是用于函数的数学工具，而求和是用于数列的数学工具。积分是连续的数学工具，求和是离散的数学工具。积分与求和本质上没有区别，就像一对孪生兄弟，只是适用对象不同，一个用于连续的数学对象——函数，一个用于离散的数学对象——数列。

与积分和求和的区别和联系相仿的两外两个数学工具是导数（微分）和差分。导数（微分）是用于函数的，而差分是用于数列的。函数可以存在高阶导数，数列可以存在高阶差分。

定义 数列{ai}的一阶差分为Δai=ai+1-ai，k阶差分为Δkai=Δ（Δk-1ai）

我们把求和与积分的性质对比如下。

性质1 求和的值与下标无关ai=aj=ak

性质1' 定积分的值与积分变量无关f（x）dx=f（t）dt=f（u）du

由性质1和性质1'，我们知道求和下标i与积分变量x都是哑变量。

性质2 数乘性kai=kai

性质2' 数乘性kf（x）dx=kf（x）dx

性质3 可加性（ai±bi）=ai±bi

性质3' 可加性（f（x）±g（x））dx=f（x）dx±g（x）dx

性质4 区间可加性ai+ai=ai

性质4' 区间可加性f（x）dx+f（x）dx=f（x）dx

性质5

ai≤ai

性质5'

f（x）dx≤f（x）dx

性质6 设M和m分别是数列{a}的最大值和最小值，则nm≤ai≤nM

性质6' 设M和m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m（b-a）≤f（x）dx≤M（b-a）（a

性质7 设f'（x）在区间[a，b]上连续，则f'（x）dx=f（b）-f（a）

性质7' Δai=an+1-a1

从性质7和性质7'，我们可以看到定积分的牛顿——莱布尼茨公式（性质7）平行推广到数列求和的性质7'，积分变成了求和，导数f'（x）变成了差分Δai，函数增量f（b）-f（a）变成了数列增量an+1-a1。我们可以看出性质7和性质7'，并无本质上的区别，只不过一个是关于函数的性质，一个是关于数列的性质，性质7'的证明非常简单，小学生就可以完成；而性质7（牛顿——莱布尼茨公式）人类到了17世纪才发现，并且由大科学家牛顿、莱布尼茨创立。我们现在能够发现简单的性质7'和相对复杂的性质7并无本质上的区别。我们要从身边简单的对象入手，探索发现科学上复杂的结果。

性质8 分部积分公式u（x）v'（x）dx=[u（x）v（x）]-v（x）u'（x）dx

性质8' 分部求和公式aiΔbi=anbn+1-a1b1-Δaibi+1

从性质8和性质8'，我们可以看出二者之间也无本质上的区别。积分变成了求和，导数v'（x）变成了差分Δbi，函数增量[u（x）v（x）]变成了数列增量anbn+1-a1b1。

通过上述性质我们发现，积分及求和是普遍联系的。求和具有的性质，积分也有；反过来，积分具有的性质，求和也基本具有。但是，需要我们注意的是，定积分中值性质就不能平行推广到求和。

我们在高等数学教学过程中，就是要经常给同学总结和比较不同数学对象的类似性质，用同学熟悉的求和的性质来对比不熟悉的积分的性质，以便于学生对积分的性质理解和掌握更加到位。

参考文献：

[1]李心灿，季文铎，余任胜，等.大学生数学竞赛试题解析选编[M].北京：机械工业出版社，2011.

[2]谢惠民，恽自求，易法愧，等.数学分析习题课讲义（下册）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

作者简介：吴楠（1983-），男，河北三河人，博士，讲师，研究方向：主要从事复分析研究。

摘要：积分是连续的数学工具，求和是离散的数学工具。积分与求和本质上没有区别，就像一对孪生兄弟，只是适用对象不同，一个用于连续的数学对象——函数，一个用于离散的数学对象——数列。本文总结了求和与积分的若干性质，发现求和与积分的性质是基本平行的，求和的性质一般都可以平行地推广到积分上。

关键词：求和；积分；性质；比较；研究

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）23-0118-02

众所周知，积分是经过分割、近似求和、取极限三个步骤得到的。有人说积分就是一种特殊的求和。积分的英文单词是“integration”，就是结合、一体化、累积的意思。积分是用于函数的数学工具，而求和是用于数列的数学工具。积分是连续的数学工具，求和是离散的数学工具。积分与求和本质上没有区别，就像一对孪生兄弟，只是适用对象不同，一个用于连续的数学对象——函数，一个用于离散的数学对象——数列。

与积分和求和的区别和联系相仿的两外两个数学工具是导数（微分）和差分。导数（微分）是用于函数的，而差分是用于数列的。函数可以存在高阶导数，数列可以存在高阶差分。

定义 数列{ai}的一阶差分为Δai=ai+1-ai，k阶差分为Δkai=Δ（Δk-1ai）

我们把求和与积分的性质对比如下。

性质1 求和的值与下标无关ai=aj=ak

性质1' 定积分的值与积分变量无关f（x）dx=f（t）dt=f（u）du

由性质1和性质1'，我们知道求和下标i与积分变量x都是哑变量。

性质2 数乘性kai=kai

性质2' 数乘性kf（x）dx=kf（x）dx

性质3 可加性（ai±bi）=ai±bi

性质3' 可加性（f（x）±g（x））dx=f（x）dx±g（x）dx

性质4 区间可加性ai+ai=ai

性质4' 区间可加性f（x）dx+f（x）dx=f（x）dx

性质5

ai≤ai

性质5'

f（x）dx≤f（x）dx

性质6 设M和m分别是数列{a}的最大值和最小值，则nm≤ai≤nM

性质6' 设M和m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m（b-a）≤f（x）dx≤M（b-a）（a

性质7 设f'（x）在区间[a，b]上连续，则f'（x）dx=f（b）-f（a）

性质7' Δai=an+1-a1

从性质7和性质7'，我们可以看到定积分的牛顿——莱布尼茨公式（性质7）平行推广到数列求和的性质7'，积分变成了求和，导数f'（x）变成了差分Δai，函数增量f（b）-f（a）变成了数列增量an+1-a1。我们可以看出性质7和性质7'，并无本质上的区别，只不过一个是关于函数的性质，一个是关于数列的性质，性质7'的证明非常简单，小学生就可以完成；而性质7（牛顿——莱布尼茨公式）人类到了17世纪才发现，并且由大科学家牛顿、莱布尼茨创立。我们现在能够发现简单的性质7'和相对复杂的性质7并无本质上的区别。我们要从身边简单的对象入手，探索发现科学上复杂的结果。

性质8 分部积分公式u（x）v'（x）dx=[u（x）v（x）]-v（x）u'（x）dx

性质8' 分部求和公式aiΔbi=anbn+1-a1b1-Δaibi+1

从性质8和性质8'，我们可以看出二者之间也无本质上的区别。积分变成了求和，导数v'（x）变成了差分Δbi，函数增量[u（x）v（x）]变成了数列增量anbn+1-a1b1。

通过上述性质我们发现，积分及求和是普遍联系的。求和具有的性质，积分也有；反过来，积分具有的性质，求和也基本具有。但是，需要我们注意的是，定积分中值性质就不能平行推广到求和。

我们在高等数学教学过程中，就是要经常给同学总结和比较不同数学对象的类似性质，用同学熟悉的求和的性质来对比不熟悉的积分的性质，以便于学生对积分的性质理解和掌握更加到位。

参考文献：

[1]李心灿，季文铎，余任胜，等.大学生数学竞赛试题解析选编[M].北京：机械工业出版社，2011.

[2]谢惠民，恽自求，易法愧，等.数学分析习题课讲义（下册）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

作者简介：吴楠（1983-），男，河北三河人，博士，讲师，研究方向：主要从事复分析研究。