诠释均值定理 掌握多变配凑技巧

薛胜菊

摘要：在高考题中，利用均值不等式求函数的最值是最为常见、应用较为广泛的方法之一。但是应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

关键词：数学；求最值；均值定理

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）12-0265-01

最值问题始终是高考数学的命题热点，而利用均值不等式求函数的最值是最为常见、应用较为广泛的方法之一，这类问题难度虽不大但技巧性，考生常因方法选择不当，造成应用定理错误而失分。因此，快速找到切入点，灵活运用所学知识，将复杂问题简单化，从而顺利解答高考题，这是高三学生的最大期望。笔者现就此类问题进行归纳总结，对不同类型技巧的解法进行分析。希望本文能对读者有所启示和帮助。

一、配凑项凑“积”为定值法

例1 已知x<，求函数y=4x-2+的最大值。

解：因4x-5<0，所以首先要“调整”符号，又

（4x-2）g不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项，Qx<，∴5-4x>0，

∴y=4x-2+=-

5-4x++3≤-2+3=1

当且仅当5-4x=，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1。

点评：本题需要调整项的符号，保证各项正，又要配凑项的系数，使其积为定值。其实凑积为定值无非是凑“倒数”形式，消去未知数，得到定值而已。

二、分离拆项或换元构造“积”为定值

例2 求y=（x>-1）的值域。

解法一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离。