数值重构研究重力坝动力模型试验可靠性

王铭明，陈健云 ，范书立

(1.昆明理工大学 电力工程学院，昆明 650500；2.大连理工大学 海岸与近海国家重点实验室，辽宁 大连 116024)

经过了汶川大地震，混凝土坝在强震下具有多高的抗震性能我们还不明确。地震的不确定性，大坝的复杂性，缺少高坝强震破坏的实例，不甚了解结构的破坏形式以及震害特点，使目前大坝抗震设计相当程度上仍依赖于传统经验，尤其建于强震区的高混凝土坝，可能隐含较大的风险[1-2]。

对于高混凝土坝抗震性能的研究，需要解决非线性破坏演变过程、失效模式以及评价标准等方面的问题[3]。但由于理论分析中很多问题没有很好的解决而需要对坝体做一定的简化处理，在强震作用下发生震害的部位、破坏形态以及裂缝扩展范围、计算模型的合理性和精度难以验证。所以，在现有数值模型和分析方法的精度及可靠性无法得到准确评估[4]，并在缺乏实际地震破坏监测资料的前提下，模型试验成为了解高坝动力响应、地震破坏形态以及验证数值分析方法的一种重要手段[5-8]。但因环境因素及边界条件等许多因素的影响，模型试验也有局限性。振动台模型试验技术涉及到相似理论、模型材料、测试技术等各个方面，要保持振动台试验中模型与原型间的完全相似十分困难，大多情况下只能基于不完全相似技术或相似技巧进行试验设计，这种简化的分析对试验结果的影响并不十分明确，因此，对于高混凝土坝的振动台模型破坏试验还有很多方面需要进一步深入研究和探讨[9-11]。

动力破坏模型试验时，为了使结构的变形过程相似，必须在模型中模拟全部荷载，包括各种静力荷载和动力荷载[12]，表征材料力学性能及变形特性的参数增加，表征材料非线性特性的各参变量之间必须满足一定的相似关系。这不但要求材料的应力-应变曲线相似，还要保证损伤累积曲线、断裂特性等相似，模型材料研制上虽取得很大进展，但完全满足这些要求是非常困难的事情。现阶段所采用的模型材料与原型混凝土的轴心受压变形曲线大体“相似”，但两者的弹性模量及强度都存在差异，在极限点、临界点、峰值点、反弯点及收敛点也并不完全保持一定的比尺[13]，尤其在应力-应变曲线的下降段，仿真混凝土材料与普通混凝土相差较大。若要在时程地震分析中严格模拟坝体的非线性，则必须依据坝体结构反应的变形量使用不同的弹性模量，这需要在试验中实时改变相似律，振动台试验中再现这一设想显然是及其困难的。因此仿真模型材料的力学性能以及用于大体积混凝土模型动力破坏试验的可行性还需要试验及数值分析的进一步验证。另一方面，目前大多数模型试验中所采用的仿真模型材料与普通混凝土的应变比尺并不为1。已有研究表明[14]，在线弹性试验中应变比尺不为1，对试验结果并没有影响，但是在高混凝土坝的非线性动力破坏模型试验中，应变比尺不为1，对结构破坏形态的影响究竟有多大并不明确，有待于在理论及试验上对该现象进行进一步的研究。

本文基于仿真模型材料特性，通过数值分析重构模型试验。数值分析了完全相似及非完全相似模型的试验过程，将两种模型的数值结果与原型数值结果相比较，确定非完全相似理论在非线性动力破坏模型试验中的可行性，以及确定模型试验中控制参数的选择及非主要参数对试验结果的影响。数值仿真与动力模型试验混合对比研究试验可靠性的思路如下图1所示。

图1 数模-物模混合试验研究思路

1 非完全相似定律的推导

在仿真动力破坏模型试验中，由于模型材料的物理力学特性及试验设备的限制，很难做到试验模型与原型完全非线性相似。混凝土模型材料很难满足重力相似律要求的模量及强度比尺之间的关系，峰值应变比尺通常也不为1。我们称应变比尺不为1的相似定律为非完全相似定律。现对非完全相似理论(λε≠1)进行推导。

1.1 动力模型相似条件

(1) 几何相似条件

模型试验时，要求模、原型各部位几何尺寸保持一定的相似比例关系。根据物体受荷时变形满足几何方程ε=u/l，可知几何相似关系为：

λu=λελl

(1)

式中，λ代表相似比尺，下表u，ε，l分别代表材料的位变、应变及几何长度。

(2) 物理相似条件

物体受荷时因材料特性而发生变化反应的性质必须相似叫做物理相似条件，也就是模型试验时表征材料性质的弹模E、剪切模量G、密度ρ、泊松比μ、阻尼ξ及应力状态等都要满足相似关系。可由弹性力学物理方程σ=Dε推出相似比尺：

λσ=λEλε,λτ=λGλε

(2)

泊松比为无量纲量，相似比尺λμ应为1，试验时模型材料不一定能满足要求。为研究试验结果的可靠性，文中第3节会对泊松比相似与阻尼相似的影响作进一步探讨。

1.2 非完全相似定律

(1) 弹性相似律

(3)

(4)

式(3)为时间比尺的通用形式，与变形比尺λu无关，同时与应变比尺λε无关，因此当应变比尺不为1时，可应用式(2)就得应力比尺。

(2)重力相似率

(5)

(3) 弹性-重力相似

对于动力模型试验需要同时满足重力相似与弹性相似，由式(3)、式(5)得出：

(6)

式(6)中应变比尺λε≠1，因此不能约去，为非完全弹性-重力相似律。在动力破坏模型试验中，通常模型材料的峰值应变比尺不为1，因此还需要对非完全相似模型材料的损伤累积曲线、断裂特性等相似条件进行研究。

1.3 破坏模型的相似理论

(1) 内力-惯性力-面力相似

对于弹性模型试验，可用叠加原理将各种荷载逐一施加。在进行破坏模型试验时，材料进入非线性阶段叠加原理不再有效，因此为使结构变形过程相似，必须在模型上同时施加静力及动力全部荷载，需要满足内力-惯性力-面力相似：

(7)

(2) 应力-应变关系相似

材料在弹性范围时可以用弹性模量来表征应力-应变特性。但材料进入非线性后弹性模量实时改变，要表达结构变形破坏过程相似就必须保持原、模型材料的应力-应变曲线相似：

(8)

不同应变率时，材料应力-应变曲线不同，因此，

(9)

式(9)中σp(εi,Tip)表示在原型中以某一加载速率下材料破坏与应变相对应的应力。Tpi与Tmi还应满足时间比尺关系。

(3) 断裂韧度相似

进行破坏模型试验时，要保持原、模型之间断裂破坏特性相似，需要模型材料的断裂韧度Kσ与原型混凝土满足相似关系：

(10)

1.4 简化混凝土材料破坏模型试验的相似理论

对于混凝土材料，上一小节破坏模型的相似理论分析中，(1) 内力-惯性力-面力相似和(3)断裂韧度相似通过调整模型材料配比、调整荷载或配重的方法是可以做到的，但对于(2)应力-应力曲线或累积损伤曲线相似是很难做到的。混凝土是脆性材料，达到拉压峰值强度时，相似应力-应变比尺关系：λσ=λEλε仍然成立。若将原型混凝土与模型材料的本构关系均简化为下降段为理想的线性应变软化模型[15]，这样，试验时模型材料损伤前仍为弹性，尽管应变比尺不为1，在上升段应力-应变关系比尺依然成立。这要就满足的最大应力相似比尺：

(11)

式中：上标p，m分别代表原、模型，下标max代表最大值。

要做到下降段的割线弹模、应力、应变等比尺依然满足相似条件是很困难的，但可采用断裂特性表征原、模型材料软化的相似条件，可以得出与原型相似的模型损伤的试验结果。因此，通过追求原、模型材料断裂形态及断裂特性的相似，可以解决原、模型材料本构关系下降段难以完全相似的问题。很多模型材料的破坏形态与混凝土十分相似；要保证断裂特性相似则可从断裂韧度[16]和断裂能密度[17]两方面分析。原、模型材料断裂韧度满足式(10)即可；如图2所示，断裂能密度可由下面公式求得：

(12)

动力破坏模型试验时应满足断裂能密度比尺λGf：

λGf=λσλε

(13)

把模型材料本构关系上升段认为是线弹性的，那么要使其下降段满足断裂能比尺式(12)，可以通过在模型材料配比中添加塑性成分调节，如橡胶粉，粘土、膨润土等。

图2 非完全相似定律下原型和模型的应力应变关系

2 原-模型坝体非完全相似的数值分析

对Koyna重力坝分别进行了原型、完全相似模型及不完全相似模型的弹塑性损伤地震响应分析。模型试验中，由于振动台尺寸及承载能力的限制，坝体模型尺寸一般不会很大，模型中不包括地基部分，因此本数值模型也不包括地基部分。其中，原型坝体高度为103 m，基底宽度为70 m，上游迎水面为直立坝面，地震时蓄水位为91.74 m；原型的弹模E=2.3 GPa，泊松比μ=0.17，单轴抗压强度fck=24.1 MPa、抗拉强度ftk=2.0 MPa，密度ρ=2 500，断裂能Gf=120 N/m，动态强度因子d=1.3；计算时，忽略了压损伤破坏，采用Koyna地震中记录的顺河向及竖直向加速度分量作为输入地震波，如图3。

完全相似模型与原型的各个相似比尺为：几何比尺λl=100，弹模比尺λE=100，应变比尺λε=1，应力比尺λσ=100，泊松比比尺λμ=1，密度比尺λρ=1，时间比尺λt=10，断裂韧度比尺λKσ=1 000；

以大连理工大学研制的仿真混凝土材料[18-19]为例确定非完全相似模型的各种相似比尺。由于仿真模型材料特性决定密度比尺λρ=0.83，应变比尺λε=2，确定模型的几何比尺λl=100后，根据非完全相似理论得出弹模比尺λE=166.67，应力比尺λσ=83.33，时间比尺λl=7.07，断裂韧度比尺λKσ=833.33。

2.1 频率分析

对上文介绍的三种模型进行模态分析，得出每种模型前4阶频率及振型，分别见表1及图4。由表1可知，完全相似模型及非完全相似模型的前4阶频率，与原型相应频率的关系均完全满足式(4)。图4可以看出，两种模型前4阶振型与原型前4阶振型几乎没有区别，沿坝高的动力响应的放大倍数也相同。这说明无论当应变比尺是否为1，模型的振动特性都是满足相似关系的。

在数值分析中，由于非完全相似模型的密度比尺和应变比尺都不等于1，根据式(6)，得出弹模比尺较完全相似模型小，所以，模态分析时非完全相似模型的频率较较完全相似模型的小，但是这种变小的频率仍是满足非完全相似比尺的，因此非完全相似模型的振型与原型也是相同的。

表1 原型、完全相似模型及非完全相似模型的前四阶频率

图3 水平和竖直向地震加速度时程图

2.2 应力及损伤分析

图5给出了Koyna大坝原型、完全相似模型及非完全相似模型在地震作用下坝体内部最大拉应力的包络图。可以看出，完全相似模型显示的最大拉应力与原型计算的结果在分布上几乎完全一致，都是在坝体颈部上下游面出现很大的拉应力分布，达到了材料的抗拉强度值；坝踵部位的拉应力分布也较大；在数值上完全满足应力比尺(λσ=100)的关系；非完全相似模型与前两者的最大拉应力在分布上虽有所差别，但是在坝体振动的关键部位主拉应力的分布以及最大拉应力出现位置与它们是一致的，根据非完全相似的应力比尺(λσ=83.333)，非完全相似模型与原型的主拉应力值也是满足相似要求的。

在地震作用下，坝体原型及两种大缩尺相似模型内部拉损伤演化，如图6所示。从三种数值模型的损伤发展过程可知，完全相似模型的损伤发展过程是几乎完全以至于坝体原型的，各个部位开裂的时间点也是完全符合时间比尺(λt=10)的。坝体原型在t=2.932 s时刻下游折坡位置首先开裂，并向上游延伸；紧接着t=3.142 s时刻坝踵部位开裂，t=4.562 s时刻与下游裂缝相对应的上游部位发生开裂；最终地震结束时坝体颈部裂缝贯穿，如图6(prototype)；非完全相似模型的损伤演化过程是首先在t=0.411 2 s时刻下游折坡位置出现裂缝，并向上游延伸；在t=0.439 8 s时刻坝踵开裂；t=0.369 6时刻与下游裂缝相对应的上游部位出现向下游延伸的裂缝；最终模型坝体颈部被裂缝贯穿，如图6(model(ε≠1))。虽然非完全相似模型各部位发生损伤的时刻较完全相似模型略有滞后，但其各个震害部位发生开裂的顺序是一致的，开裂的时间点也是符合非完全相似时间比尺(λt=7.07)的，模型坝体最终的损伤分布也是十分一致的，如图6(model(ε=1))与图6(model(ε≠1))。

图4 原型、完全相似模型及非完全相似模型的前四阶振型

已有文献指出[14]，在非线性损伤模型试验中，如果原、模型材料的应变比尺不等于1，完全相似理论将不再适用。从大坝原型、完全相似模型及非完全相似模型数值计算的各种结果可以看出，在材料应变比尺不等于1的模型试验中，采用非完全相似定律，并通过调节模型材料配比使其本构曲线下降段不至于过陡，保证其断裂韧度或断裂能满足一定的相似要求，就可以应用不能完全满足所有相似关系的模型材料来进行仿真动力模型破坏试验，并可得到准确可靠的试验结果。

表2 原型、完全相似模型及非完全相似模型的最大应力及开裂时刻

图5 地震作用下原型、完全相似模型及非完全相似模型的最大拉应力的包络图

图6 地震作用下原型、完全相似模型及非完全相似模型拉损伤的演化

3 其他相似比尺的进一步研究

3.1 泊松比比尺的影响

事实上，试验时所用模型材料与原型混凝土的泊松比还是有一定差别的。大连理工大学研制的仿真模型材料的泊松比与常态混凝土有所不同，约为0.2。对非完全相似模型的泊松比去取0.2进行模态分析得前4阶频率分别为19.09 Hz、48.285 Hz、76.359 Hz、92.714 Hz，与泊松比比尺λμ=1时的非完全相似模型基频的差别在0.1%以内，高阶频率的差别也在0.5%以内；前4阶振型如图7所示。看图可知，计算得非完全相似模型坝体的前4阶振型与前文μ=0.17的模型振型结果几乎没有区别；高阶振型沿坝高动力响应的放大倍数有微小不同，可以忽略。可见，采用泊松比为0.2的模型材料进行动力模型试验不会对结果产生不良影响。关于这点，文献[13-14]也有明确说明，文献[14]指出，泊松比在0.17～0.25时，泊松比比尺λμ=1不完全必要。

图7 μ=0.2的非完全相似模型模态分析的前四阶振型

3.2 阻尼比尺的影响

无论是结构阻尼还是材料阻尼都会对结构的动力响应产生影响，但是迄今为止阻尼理论还有待于进一步研究。目前的研究中粘滞阻尼与复刚度阻尼理论应用的较为广泛。根据量纲分析法，阻尼的量纲为mT-1，阻尼比η=ξ/2mω(ω为圆频率)，所以原-模型阻尼比比尺λη=1。一般坝体结构的阻尼比为2%～5%。本文计算中应用了Rayleigh阻尼。由于Rayleigh阻尼的比例常数与结构的各阶频率有关[20]：

(14)

式中：ξ为临界阻尼比，一般取0.05；建议ωm取基频，ωn取一个高阶频率。这样，可以分别用原型或模型的频率计算出相应的Rayleigh阻尼。

4 结 论

通过理论推导，给出当原、模型材料应变比尺不为1的非完全相似定律，并提出针对模型材料本构关系下降段的断裂特性相似的处理技巧。根据大连理工大学研制仿真混凝土材料的特性，数值重构了应变比尺λε=2的非完全相似模型，与原型及完全相似模型的计算结果相比较发现：

(1) 非完全相似模型的各阶频率虽然与完全相似模型有所不同，但仍原型的相应频率保持很好的相似关系，其振型也与原型及完全相似模型的振型保持一致；

(2) 非完全相似模型坝体内部最大拉应力的分布与原型及完全相似模型虽略有差别，但坝体振动的关键部位主拉应力的分布是一致的，在数值上也满足非完全相似应力比尺的相似关系；

(3) 在地震中，非完全相似模型坝体内部拉损伤发生的部位与原型及完全相似模型几乎完全相同，在裂缝的发展演化过程上也严格满足时间比尺的相似要求；

(4) 泊松比比尺不为1时对试验结果的影响分析表明，得出当模型材料的泊松比由0.17变为0.2时，对模型前四阶频率及振型的影响不超过0.5%，这与从前的报道是一致的；本文计算中分别用临界阻尼比及原、模型各自的频率计算相应的Rayleigh阻尼，从而解决动力模型试验中阻尼相似要求的问题；

(5) 通过数值重构模型试验与原型数值分析结果比较，表明尽管由于试验设备、试验条件的限制，对模型的设计进行了某些简化，模型材料的特性虽不能完全满足所有相似比尺的要求，但通过对模型材料的特殊处理，并采取一定的相似处理技巧是对得出相对稳定可靠的试验结果是有帮助的。

[1]陈厚群. 混凝土高坝强震震例分析和启迪[J]. 水利学报, 2009, 40(1): 10-18.

CHEN Hou-qun. Analysis on damages of high concrete dams subjected to strong earthquake and lessons for learning[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2009, 40(1): 10-18.

[2]陈厚群, 徐泽平, 李敏. 汶川大地震和大坝抗震安全[J]. 水利学报, 2008, 39(10): 1158-1167.

CHEN Hou-qun, XU Ze-ping, LI Min. Wenchuan earthquake and seismic safety of large dams[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2008, 39(10): 1158-1167.

[3]杜成斌, 苏擎柱. 混凝土坝地震动力损伤分析[J]. 工程力学, 2003, 20(5): 170-173.

DU Cheng-bin, SU Qing-zhu. Dynamic damage of concrete gravity dams under earthquake excitation[J]. Engineering Mechanics, 2003, 20(5): 170-173.

[4]钟红, 林皋, 李建波，等. 高拱坝地震损伤破坏的数值模拟[J]. 水利学报, 2008, 39(7): 848-853.

ZHONG Hong, LIN Gao, LI Jian-bo, et al. Numerical simulation of damage in high arch dam due to earthquake[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2008, 39(7): 848-853.

[5]Harris D W, Snorteland N, Dolen T, et al. Shaking table 2-D models of a concrete gravity dam[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2000, 29(6): 769-787.

[6]王海波, 李德玉, 陈厚群. 拱坝振动台动力破坏试验研究[J]. 土木工程学报,2006, 39(7): 109-118.

WANG Hai-bo LI de-yu CHEN Hou-qun. Experimental study on the dynamic failure of arch dams using a shaking table[J]. China Civil Engineering Journal, 2006, 39(7): 109-118.

[7]WANG Hai-bo, LI De-yu. Experimental study of seismic overloading of large arch dam[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2006, 35(2): 199-216.

[8]WANG Hai-bo, LI De-yu. Experimental study of dynamic damage of an arch dam[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2007, 36(3): 347-366.

[9]LIN Gao, DU Jian-guo, HU Zhi-qiang. Earthquake analysis of arch and gravity dams including the effects of foundation inhomogeneity[J]. Frontiers of Architecture and Civil Engineering in China, 2007, 1(1): 41-50.

[10]林皋. 混凝土大坝抗震安全评价的发展趋向[J]. 防灾减灾工程学报, 2006, 26(1): 1-12.

LIN Gao. Developing tendency of the seismic safety evaluation of large concrete dams[J]. Journal of Disaster Prevention and Mitigation Engineering, 2006, 26(1): 1-12.

[11]李同春, 王仁坤，游启升，等. 高拱坝安全度评价方法研究[J]. 水利学报, 2007, (增): 78-83.

LI Tong-chun, WANG Ren-kun,YOU Qi-sheng，et al. Study on safety evaluation methods for high arch dams[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2007, (S1): 78-83.

[12]鲁亮, 吕西林. 振动台模型试验中一种消除重力失真效应的动力相似关系研究[J]. 结构工程师,2001, (4): 45-48.

LU Liang, LU Xi-lin. Study of dynamic similitude law for the shaking table test to cancel the gravity distortion effect[J]. Structural Engineers, 2001, (4): 45-48.

[13]林皋, 朱彤, 林蓓. 结构动力模型试验的相似技巧[J]. 大连理工大学学报, 2000, 40(1): 1-8.

LIN Gao, ZHU Tong, LIN Bei. Similarity technique for dynamic structural model test[J]. Journal of Dalian University of Technology, 2000, 40(1): 1-8.

[14]夏颂佑, 张楚芳, 张鸣岐. 动态结构模型相似条件若干问题的探讨(兼对“研究拱坝振动的模型相似律”一文的几点讨论意见)[J]. 华东水利学院学报, 1980, (1): 59-72.

XIA Song-you, ZHANG Chu-fang, ZHANG Ming-qi. Exploration on similarity condition for dynamic structural model (and several proposals for “Research on similarity laws for dynamic model of arch dam”)[J]. Journal of East China collage of hydraulic engineering, 1980, (1): 59-72.

[15]Frantziskonis G, Desai C S. Constitutive model with strain softening[J]. International Journal of Solids and Structures, 1987,23(6): 733-750.

[16]陈健云, 范书立, 白卫峰, 等. 混凝土仿真材料断裂韧度的试验研究及分析[J]. 建筑结构学报, 2010, (增1): 344-349.

CHEN Jian-yun, FAN Shu-li, BAI Wei-feng, et al. Experimental study on fracture toughness of emulation concrete material[J]. Journal of Building Structures, 2010, (S1): 344-349.

[17]郭向勇, 方坤河, 冷发光. 混凝土断裂能的理论分析[J]. 哈尔滨工业大学学报, 2005, 37(9): 1219-1222.

GUO Xiang-yong, FANG Kun-he, LENG Fa-guang. Analysis of the theory of fracture energy of concrete[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2005, 37(9): 1219-1222.

[18]赵锦华. 仿真混凝土的力学性能研究及重力坝的动力模型数值分析[D]. 大连：大连理工大学, 2007.

[19]王铭明. 阿海碾压混凝土重力坝抗震加固措施的试验及数值研究[D]. 呼和浩特：内蒙古农业大学, 2010.

[20]李士军, 马大为, 朱孙科. 动力松弛方法中Rayleigh阻尼参数取值分析[J]. 计算力学学报, 2010, 27(1): 169-172.

LI Shi-jun, MA Da-wei, ZHU Sun-ke. Analysis of Rayleigh damp parameters in dynamic relaxation method[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2010, 27(1): 169-172.