点线垂距及其方程在土地勘测定界中的应用

冯守良，刘庆金

(1.黑龙江工程学院 测绘工程学院，黑龙江 哈尔滨 150050；2.镇江市丹徒区工程测量队，江苏 镇江 212028)

点线垂距及其方程在土地勘测定界中的应用

冯守良1，刘庆金2

(1.黑龙江工程学院 测绘工程学院，黑龙江 哈尔滨 150050；2.镇江市丹徒区工程测量队，江苏 镇江 212028)

首先把1块已知的任意多边形宗地沿其界址线平行向外(内)增加(减少)一定面积值时，推求平行距的解析方法；然后由推求出的平行距，应用点到直线的垂距方程式解算新宗地界址点的坐标方法；最后给出计算实例及在Microsoft Excel表格中实施计算的全过程和方法。

多边形；宗地；界址线；面积增量；点线垂距

土地管理部门测算用地面积工作时，经常会遇到这样两种问题：一是沿已知宗地某条界址线向外(内)增加(减少)一定的面积值，以满足对一定面积值的需求，而进行宗地新界址点的定位，属于宗地分割；二是将已知宗地的整个界址线向外(内)成放射状平行移动一定的距离，以满足一定的面积要求而确定新宗地权属界址点的位置。对于宗地形状规则且界址点不多时，逐点解算尚属简单易行；但是对于宗地形状为任意多边形且界址点数量较多，解决上述两个问题显得十分麻烦。为寻求快捷、精确、方便且适合于任意多边形宗地面积增加(减少)的推算新宗地界址点坐标(上述第二类问题)的方法，笔者应用几何原理推导出一组解析公式。本文给出了计算实例及在Microsoft Excel表格中实施计算的过程和方法，供从事土地勘测定界工作的读者参考。

1 平行距h的计算思路和公式

解决上述第二类问题的关键是根据给定的面积增量△S推求出已知宗地界址线向外(内)放射状平行移动的平行距h，进而才能根据平行距h解算增加(减少)后新宗地界址点的坐标。下面介绍根据欲增加(减少)的面积值△S推求宗地界址线放射状平行移动的平行距h的方法和过程。

如图1所示，已知值为：原宗地面积S、增加(减少)后的宗地面积S′，以及原宗地各界址点的坐标(xi，yi)，i=1，2，3，…，n。

过渡推求值：放射状平行移动增加(减少)的面积值△S，原宗地各边边长Li，i+1，各边长的方位角αi，i+1，多边形宗地各界址点Ji处的内角βi，i=1，2，3，…，n。

最终解算值：平行距h，增加(减少)后的宗地界址点坐标(Xi，Yi)，i=1，2，3，…，n。

图1 任意多边形宗地

1.1 公式的提出

推求平行距h，依次利用下列公式：

(1)

(2)

(3)

(4)

1.2 平行距h公式推导

如图1所示，实线为已知的原宗地界址线，面积为S，虚线为放射状平行移动增加(减少)后的宗地界址线，面积为S′；晕线部分为沿已知宗地界址线向外放射状平行移动增加(减少)的面积ΔS。由此可得

ΔS=S′-S.

(5)

则ΔS>0为增加，ΔS<0为减少。

为方便推导，采用任意四边形的宗地图形。从J1开始，按逆时针方向依次编号，这样编号的目的是方便多边形内角βi的计算。连结J1-j1′、J2-j2′、J3-j3′和J4-j4′，如图2所示，则Ji-ji′就是多边形内角的角平分线。过ji分别作点Ji′处相邻两虚线边的垂线，垂距为h，即平行距。两垂线足到Ji′的平距为di，同样有

(6)

式中:i=1,2,3,…,n。

图2 宗地放射状平行增加(减少)

L=(L1+d1+d2)+L2+

(L3+d3+d4)+L4=

(L1+L2+L3+L4)+

(d1+d2+d3+d4).

(7)

将式(6)代入式(7)，整理后得

(8)

图3 增加(减少)面积ΔS

因为图3的平行四边形条带状面积为ΔS，且不顾及其正负，故得

(9)

令

C=-ΔS.

(10)

则式(9)为h的一元二次方程式

A·h2+B·h+C=0.

(11)

解式(11)的一元二次方程式，得h的解为

(12)

1.3 平行距h的取值规定

一元二次方程式(11)有两个根,当B2-4AC>0时,即一个正实根,一个负实根。由实际情况看h为平移值,应该总是取正实根，即取式(13)。

许多实际算例也证明只能取正实根。当取正实根时，h值虽然也有正负，但只表明是沿任意多边形的边界线向外平移，还是向内平移。也即，宗地面积是增加还是减少。也就是说明平行移动的新界址点是在J1→J2→J3→J4→J1的左侧还是右侧。

这一点也可以从ΔS的值看出。当ΔS>0时，向外平移，面积增大，计算得h>0。当ΔS<0时，向内平移，面积减小，计算得h<0。因此，式(12)变为式(13)

(13)

此式是推求平行距h的最终计算式。

2 新宗地界址点坐标的推算

以上介绍了由宗地界址线放射状平行移动增(减)量ΔS推算平行距h的方法和过程。下面将讨论由平行距h推算新宗地界址点坐标的方法和过程。

为讨论方便起见，抽取图1中任意多边形宗地某两条相邻边，即Ji-1→Ji→Ji+1进行讨论，如图4所示。

图4 点线距

已知ji-1(xi-1,yi-1)，ji(xi,yi)，ji+1(xi+1，yi+1)。推算ji-1→ji边的方位角αi-1，i和ji→ji+1边的方位角αi，i+1。对应的新宗地界址点为Ji-1(Xi-1Yi-1)，Ji(Xi，Yi)，Ji+1(Xi+1，Yi+1)。如图4所示，由直线外任意一点到直线的垂距公式得方程

(xi-Xi)sinαi-1,i-(yi-Yi)cosαi-1,i=h.

(14)

(xi-Xi)sinαi,i+1-(yi-Yi)cosαi,i+1=h.

(15)

式(15)为界址点ji(xi，yi)到直线Ji(Xi,Yi)→Ji+1(Xi+1,Yi+1)的垂距公式。界址点ji(xi，yi)在直线Ji，i+1→Ji的左侧，所以h取“+”。

由图4可以看出，新宗地界址边与原宗地界址边平行，边长方位角方向一致。新界址点坐标是2条新宗地虚界址线相交所得，因此，归纳(14)和(15)两式，展开并整理得二元一次方程组

(16)

解式(16)方程组得新界址点Ji′(Xi，Yi)公式为

(17)

由于解方程组(16)的过程较多且较复杂，本文只给出结果式(17)，推导全过程省略。读者可以放心使用。

3 新界址点Ji(Xi，Yi)坐标计算几点说明

1)原宗地界址点号按逆时针方向进行编号，经放射状平行移动增加(减少)所得新宗地，其新界址点编号顺序与原宗地对应一致，这样可以确保计算的宗地面积恒为正。

2)用式(17)计算新宗地界址点坐标Ji(Xi，Yi)时，其中h直接用表1计算所得之值代入式(17)进行计算，无需另行判断原宗地界址点ji(xi,yi)是否在新宗地界址线Ji-1→Ji→Ji+1的左侧或右侧。

3)如果测量工作只要求把已知宗地界址线放射状向外(内)平行移动一个给定距离h(如上述一类问题)，推算以确定新宗地权属界址点Ji(Xi，Yi)，则此时就可以直接利用式(17)。如果是向外平行移动，则h>0；如果是向内平行移动，则h<0。因此，省略了根据ΔS计算h的过程。

4)由式(17)可以看出，当αi-1，i和αi，i+1相等时，方程式(17)不存在，2条界址线Ji-1→Ji和Ji→Ji+1成1条直线，因此，Ji(Xi，Yi)无解。

5)式(17)也适用于带状折线工程，如已知折线状道路中心线，推求位于其左侧或右侧一定宽度h边线拐点坐标的情形。这时，待定拐点Ji(Xi，Yi)位于道路中线ji-1→ji→ji+1的左侧时，h取正值，反之右侧时h取负值，但折线的方位角αi-1，i和αi，i+1仍须计算。本文将不再讨论。对此感兴趣的读者可以尝试其实际应用。

4 算例及Excel计算表式

已知数据与h的推算值如表1所示。

4.1 平行距h的推算实例及编表说明

表1中各单元格输入计算公式说明如下:D列和F列分别为原宗地界址点坐标x和y。C列为原宗地面积计算分量，式C5=(D4*F6-D6*F4)/2，填充到C15；C19单元格为原宗地面积终值，C19=SUM(C5:C15)。界址点依顺时针方向编号，宗地面积值为正号，反之为负号。本文为依逆时针方向编号，为保证面积为正数，求和时添加了“-”号。

表1 平行距h的Excel推算

H3=SQRT(E3^2+G3^2),填充至H15单元格，为原宗地各界址边之长Li。边长Li值之和为H20=SUM(H5:H15)，H3不参与。I列为原宗地界址边的方位角，公式输入为I3=IF(G3=0，90-DEGREES(ASIN(E3/H3)，180-90*SIGN(G3)-DEGREES(ATAN(E3/G3)))，填充至I15。J列为原宗地相邻界址边的夹角，即宗地多边形的内角βi。

J4=IF(I5-I3+180<0,I5-I3+540,IF(I5-I3+180>360,I5-I3-180,I5-I3+180)),填充至J14单元格。J18=SUM(J4:J14),如果J4到J14计算无误，J18=I17=(n-2)*180=(6-2)*180。

K列为宗地多边形内角之半的正切值的倒数1/tan(βi/2)；输入公式K4=1/TAN((J4/2)*PI()/180)，填充到J14；K20=SUM(K4:K14),是A=∑1/tan(βi/2)的值。

H20=SUM(H5:H15)是求h值的参数B值。E20=-(C21-C19)，为宗地增(减)的定值，ΔS=S′-S，是求h的参数C值。

C22单元格为平行距h的最终计算值，输入公式C22=(-H20+ SQRT(H20^2-4*K20*E20))/(2*K20)。至此平行距h已求得。

4.2 新宗地界址点坐标推算实例及编表说明

表2中，B列和C列为原宗地界址点的已知坐标x和y；D列为相邻界址点边长的方位角，从表1中的计算结果录入，已被隐藏掉。E列与F列分别为新宗地界址点的推算坐标X和Y，h=2.091 m由表1推算出，如表2所示。

表2 由h推算新宗地界址点坐标和面积

表2中计算公式：E3=B3+(COS(D4*PI()/180)-COS(D2*PI()/180))*MYMFMYM18/SIN((D4-D2)*PI()/180),填充至E15单元格，E列为新宗地各界址点的Xi坐标；F3=C3+(SIN(D4*PI()/180)-SIN(D2*PI()/180))*MYMFMYM18/SIN((D4-D2)*PI()/180),填充至F15单元格，F列为新宗地各界址点的Yi坐标；G4到G14为新宗地面积计算分量，G4=(E3*F5-E5*F3)/2，即(Xi*Yi+1-XI+1*Yi)/2,填充至G14单元格，F17为新宗地最终面积值，则新宗地面积S′为：G17=SUM(G4:G14)。计算结果与要求的定值相等。由于本文新宗地界址点也是按逆时针方向编号，为确保面积值为正，故公式中同样添加了“-”号。

B列为宗地多边形界址边的方位角αi，由于只参与计算，所以隐藏了；表2中4、6、8、10、12、14行，同样隐藏了，表格显得美观。

5 结束语

本文根据点线垂距及其方程，将1块任意多边形宗地，按给定的面积要求，沿宗地界址线放射状平行增加(减小)时，推算所得新宗地界址点坐标的方法和过程。这对于从事土地测量工作，在拨地定桩时具有一定应用价值。

该方法的理论和实际以及推算过程并不复杂，都能容易被测量工作所接受和应用。

本文给出的EXCEL计算实例，虽然适合本算例，但对于界址点较多的宗地，只要略通EXCEL表的技术人员稍加调整即可。

[1]徐时涛，夏英宣 ．实用测量学[M]．重庆：重庆大学出版社，1990.

[2]侯晓真，于瑞鹏.道路勘测阶段控制测量方法的研究[J].测绘工程，2012，21(4)：70-73.

[3]侯树兵，李伟.农村集体土地使用权地籍调查探讨[J].测绘工程，2014,23(5)：46-50.

[4]李金如 ．地形测量学[M]．北京：地质出版社，1983.

[5]韦春竹，郑文锋，孟庆岩，等.基于元胞自动机的遗传神经网络在土地利用变化模拟分析中的应用[J].测绘工程，2014,23(1)：45-49.

[6]赫天沛.土地二调质检中有关“疑问图斑”的探讨[J].测绘工程，2013,22(2)：45-47.

[7]武汉测绘学院编写组 ．测量学[M]．北京：测绘出版社，1987.

[责任编辑：郝丽英]

Applicationofoffsetofpointtolineanditsequationtolandsurveydelimitation

FENG Shou-liang1，LIU Qing-jin2

(1.College of Surveying and Mapping Engineering,Heilongjiang Institute of Technology,Harbin 150050,China;2.Zhenjiang Dantu District Engineering Surveying Team,Jingsu 212028,China)

It first introduces the analytical method of calculating the parallel distance,after the known cases of arbitrary polygon puts along its property line parallel to the outside (inside) increasing (decreasing) a certain area of value. Then,according to the parallel distance calculated,with point to linear offset equations the coordinates of the boundary point on the new parcel are calculated. Also a calculation example in Microsoft Excel table to implement the whole process and method of calculation is given.

polygon;parcel;property line;area;offset of point to line

2014-05-06

冯守良(1956-)，男，高级工程师，研究方向：工程测量.

P221

A

1671-4679(2014)05-0003-05