由一道选择题引发的思考

俞世平

问题若角α为某三角形的一内角，且sinα+cosα=15，则tanα的值为（ ）.

A．-34B．34 C．-43 D． 43

这是根据人民教育出版社A版第147页B组第一题改编的一道选择题，在三角函数的考试题中非常常见.

方法1∵sinα+cosα=2sin(α+π4)，∴sin(α+π4)=152≤22，且π4≤α+π4≤5π4，结合正弦函数的图像可以知道π2≤α+π4≤π, ∴π2≤α≤3π4，|cosα|＜|sinα|， 从而有tanα＜-1, ∴选C.

方法2由sinα+cosα=15可以知道α为钝角 ， 并且|cosα|＜|sinα|,即有tanα＜-1， ∴选C.

这两种方法都是通过对tanα的范围的估计得到答案的，简称估值法.方法1用α为某三角形的一个内角，通过对α范围的限制，得到tanα的范围；方法2从sinα+cosα=15的范围出发，考虑到sinα＞0， cosα＜0 ，且|cosα|＜|sinα|，再用tanα的范围得到选项 .从三角函数角度的范围和函数值的范围出发考虑问题是处理三角函数问题的常规方法.

方法3通过方法1可知π2≤α≤3π4，结合问题的选项可以构造如图1所示的直角△ABC ，其中边长AB=5、AC=3、BC=4，α是直角△ABC一个锐角A的外角,∴tan=-43,∴选C.

这种方法应用角α的范围和选择题的选项构造了一个直角三角形，通过数形结合的方式直观的解决了问题.构造直角三角形的方法，可以实现同角三角函数值之间进行顺利的转换，是三图1角函数求值的快法.

方法4把sinα+cosα=15

两边平方得：1+2sinαcosα=125，

∴2sinαcosαsin2α+cos2α=-2425，化成：tanαtan2α+1=-1225,即12tan2α+25tanα+12=0 ，由此可解得：tanα=-43或-34，考虑到tanα＜-1, ∴tanα=-43,∴选C.

方法5把sinα+cosα=15,两边平方得：1+2sinαcosα=125，2sinαcosα=-2425

∴(sinα-cosα)2=4925，再由sinα＞0，cosα＜0得：sinα-cosα=57,

∴sinα-cosαsinα+cosα=17 即tanα-1tanα+1=17

∴tanα=-43,∴选C.

这两种方法都是求tanα值的方法，方法4通过1的代换和同角三角函数值之间的转换，建立了关于tanα的一元二次方程，求出tanα的值后，通过tanα＜-1进行根的取舍；方法5利用已知条件建立了关于tanα的一元分式方程，直接求出了tanα的值.

方法6由方程组sinα+cosα=15

sin2α+cos2α=1 中消去cosα得：sin2α+(15-sinα)2=1，化简成25sin2α-5sinα-12=0，可以解得sinα=45或sinα=-35，∵sinα＞0，

∴sinα=45，结合方法1知道π2≤α≤3π4，∴cosα=-35, 故tanα=-43

∴选C.

方法7把sinα+cosα=15,两边平方得：

1+2sinαcosα=125，2sinαcosα=-2425

∴(sinα-cosα)2=4925，再由sinα＞0，cosα＜0得：sinα-cosα=75，

从方程组sinα+cosα=15

sin2α+cos2α=1中解出sinα=45

cosα=-35

∴tanα=-43,∴选C.

方法8由方法……