负向等谱4位势Ablowitz-Ladik方程的类有理解

程 瑜

(徐州工程学院 数学与物理科学学院, 江苏 徐州 221111)

0 引言

作为孤立子理论中的热门课题，孤子方程的精确解及其性质长期以来受到学者的关注.随着研究的深入，很多有效寻求孤子方程精确解的办法被提出,其中，Wonskian技巧[1-2]是一种以Hirota双线性方法为基础，求解具有双线性形式的孤子方程的直接且高效的方法.双Wronskian是Wronskian技巧的一种推广[3]，被用来构造双Wronski行列式解[4].在离散系统中，双Wronskian解又被称为双Casoratian解[5-6].孤子解、有理解等多种形式的精确解都可用Wronskian行列式形式表示.Nimmo和Freeman根据文献[7]中提出的长波求极限的观点首次给出了KdV方程的有理解的Wronskian形式[8].基于此，张大军等[9-10]研究了Toda链和微分-差分KdV方程的有理解等.陈登远等在此基础上将Wronskian行列式元素满足的下三角方程推广到任意的矩阵方程,得到AKNS方程的新Wronski解，通过将矩阵取成不同的形式，给出Wronskian行列式形式的孤子解、有理解等多种形式的精确解[11].最近，文献[12]中借助该方法构造了等谱4位势Ablowitz-Ladik(AL)方程的广义双Casoratian解.

本文利用[11]中的矩阵方法研究负向等谱4位势AL方程[13]

(1)

其谱问题为[13-14]

Φn+1=UnΦn，

其中

时间发展式为

Φn，t=VnΦn，

1 广义双Casoratian解

设E是一个位移算子，定义为Ekv(n)=v(n+k)，k∈Z.通常为了方便，在不引起混淆的情况下,记v(n)=vn.若在方程(1)中作分式变换

(2)

则fn，gn，hn，Fn，Gn，Hn满足双线性方程[15]

(3)

其中D是著名的Hirota双线性导数算子，定义为

设向量函数Φn和Ψn对一切n和t具有任意阶的导数，则Φn和Ψn的(m+p+2)阶双Casoratian行列式定义为[16]

Casm+1,p+1(Φn;Ψn)

=|Φn，EΦn,…,EmΦn;Ψn,EΨn,…，EpΨn|

借助双Wronskian技巧，得到如下定理[17].

定理1负向等谱4位势AL方程(1)的双线性方程(3)具有双Casoratian行列式解

(4)

其中Φn,Ψn满……