曲线运动两类速度问题探讨

张磊

摘 要：高考理综物理题目中，常会考查关联速度和卫星变轨中的速度大小比较。学生在学习这部分内容的时候没有理解其原理。在关联速度上，作者以例题为载体，通过讲清两个疑问的方式，让学生明白其原理和原则。在变轨中的速度大小比较上，作者提出了从变轨结束后的稳定轨道比较变化前后的速度。

关键词：关联速度；卫星变轨；速度；高考物理

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）16-092-02

高考理综物理题目中，曲线运动这一章常会考查关联速度和卫星变轨中的速度大小比较。这两类题目都算不上大题，但学生掌握的情况不太好。实际上，学生在学习这部分内容的时候没有理解其原理，很多时候只是在记结论，这导致了他们在高三复习中再做相关题时，一错再错。因此，笔者觉得这部分内容需要一些详细的梳理。

一、关联速度问题

快速准确的寻找物体与物体之间速度的关联关系是速度的合成与分解的难点。对于速度的合成与分解，学生没有找到像牛顿运动定律一样的比较“硬”的依据，总感觉这样分解可以，那样分解也行，常常无从下手。实际上，分解它也要遵循一定的原则。

1、例题探究

例1，人在岸上以速度vo匀速直线前进，通过定滑轮牵引水面上的小船A靠岸。求：当绳子与水平方向的夹角为θ时，小船运动的速度大小。

分析：

已知量：人以速度vo匀速，则绳收缩的速度（沿绳方向的速度）也是vo

待求量：船的速度v

速度关联：绳上各点速度与船速似乎都有关系，但绳与船的连接点关联更明显，该点速度等于船速，一直为水平方向，但该点也具有绳上其他点的特点：沿绳收缩和垂直于绳转动。（也可理解为两个运动效果）

结果：v= /cosθ

疑问1 为什v0么不按水平和竖直两个方向分解连接点速度？

答：连接点的实际速度本就是水平，没法水平和竖直分解。

疑问2 为什么不分解绳上其他点，而是分解连接点速度？

答：其它点的实际速度不好找，也不是已知量，无法将已知和未知联系起来；其它点沿绳方向速度已知且为v0，即使按水平和竖直两个方向分解该速度，得到的水平速度也小于船速。

2、方法总结

两个原则：被分解速度必须是实际速度；实际运动的两个效果互不干扰，假设撤掉一个运动，另一个运动短时间仍存在。

一个分清：合运动和分运动要分清。

一个技巧：选点的速度必须能联系已知和未知，且它的两个运动效果易见。

一个结论：一般来说，绳（或杆）两端沿绳（或杆）方向的速度相等。

3、方法应用

例2，如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°的斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（ ）

A.大小为v，方向不变和水平方向成60°

B.大小为 v，方向不变和水平方向成60°

C.大小为2v，方向不变和水平方向成60°

D.大小和方向都会改变

分析：该问题为合成问题，关键找到两个相互独立的分速度。

已知：绳向上收缩的速度为v，则橡皮向上的分速度为v

待求：橡皮合速度

寻找另一分速度：运动中悬线始终竖直，则钉子在斜面方向始终相对橡皮静止，则在沿斜面方向橡皮的运动与钉子一样。（绳不再收缩，橡皮也会随钉子沿斜面运动）

结果：按平行四边形法则求出合速度为 v，方向和水平方向成60°

二、卫星变轨中的速度大小比较问题

例3，如图，Ⅰ为卫星近地轨道，Ⅱ为椭圆轨道，Ⅲ为同步圆轨道，试比较v1 v2 v3 v4的大小。

1、所用知识点

稳定圆轨道运行速度大小比较：根据公式 ，r越大，v越小；

椭圆轨道上近月点速度大于远月点速度；

万有引力与向心力关系：

= 圆周运动

> 向心运动

< 离心运动

曲率半径与曲线弯曲程度关系：曲线越平（下接第93页）

（上接第92页）坦，曲率半径越大；曲线越弯曲，曲率半径越小。（曲率半径即为轨道半径）

2、经典解释

Ⅰ、Ⅲ轨道为稳定圆轨道，Ⅲ轨道半径大，运行速率小，则v1> v3；

Ⅱ为椭圆轨道，近月点速度大于远月点速度，则v2> v3；

又因为在P点和Q点附近加速，以实现变轨，则v2> v1，v4> v3；

综上，v2> v1>v4> v3。

3、新解释

经典解释侧重强调变轨过程中存在P点和Q点附近加速这一短暂物理过程，从而得到v2> v1，v4> v3。从数学角度，我们还可以从变轨结束后的稳定轨道角度比较得出这对关系：

在Ⅰ轨道上的P点： =在Ⅱ轨道上的P点： =

其中r为卫星到月心的距离，r1、r2为曲率半径且r1 v1；

同理，在Ⅱ轨道上的Q点： = 在Ⅲ轨道上的Q点： =

其中为r，卫星到月心的距离，r3、r4为曲率半径且r3 v3；

又因为Ⅰ、Ⅲ轨道为稳定圆轨道，Ⅲ轨道半径大，运行速率小，则v1> v3；

Ⅱ为椭圆轨道，近月点速度大于远月点速度，则v2> v3；

综上，v2> v1>v4> v3。

三、结束语

笔者在高三复习课的授课过程中，补充了上述的解释。学生加深了对关联速度原理和原则的了解，提高了对卫星变轨过程的“万有引力提供向心力”的认识，解决了难以理解的问题。

参考文献：

[1] 甄学霞，李 兴.卫星变轨中几个速度大小的比较[J].物理教学探讨，2011，29（421）：41-42.

摘 要：高考理综物理题目中，常会考查关联速度和卫星变轨中的速度大小比较。学生在学习这部分内容的时候没有理解其原理。在关联速度上，作者以例题为载体，通过讲清两个疑问的方式，让学生明白其原理和原则。在变轨中的速度大小比较上，作者提出了从变轨结束后的稳定轨道比较变化前后的速度。

关键词：关联速度；卫星变轨；速度；高考物理

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）16-092-02

高考理综物理题目中，曲线运动这一章常会考查关联速度和卫星变轨中的速度大小比较。这两类题目都算不上大题，但学生掌握的情况不太好。实际上，学生在学习这部分内容的时候没有理解其原理，很多时候只是在记结论，这导致了他们在高三复习中再做相关题时，一错再错。因此，笔者觉得这部分内容需要一些详细的梳理。

一、关联速度问题

快速准确的寻找物体与物体之间速度的关联关系是速度的合成与分解的难点。对于速度的合成与分解，学生没有找到像牛顿运动定律一样的比较“硬”的依据，总感觉这样分解可以，那样分解也行，常常无从下手。实际上，分解它也要遵循一定的原则。

1、例题探究

例1，人在岸上以速度vo匀速直线前进，通过定滑轮牵引水面上的小船A靠岸。求：当绳子与水平方向的夹角为θ时，小船运动的速度大小。

分析：

已知量：人以速度vo匀速，则绳收缩的速度（沿绳方向的速度）也是vo

待求量：船的速度v

速度关联：绳上各点速度与船速似乎都有关系，但绳与船的连接点关联更明显，该点速度等于船速，一直为水平方向，但该点也具有绳上其他点的特点：沿绳收缩和垂直于绳转动。（也可理解为两个运动效果）

结果：v= /cosθ

疑问1 为什v0么不按水平和竖直两个方向分解连接点速度？

答：连接点的实际速度本就是水平，没法水平和竖直分解。

疑问2 为什么不分解绳上其他点，而是分解连接点速度？

答：其它点的实际速度不好找，也不是已知量，无法将已知和未知联系起来；其它点沿绳方向速度已知且为v0，即使按水平和竖直两个方向分解该速度，得到的水平速度也小于船速。

2、方法总结

两个原则：被分解速度必须是实际速度；实际运动的两个效果互不干扰，假设撤掉一个运动，另一个运动短时间仍存在。

一个分清：合运动和分运动要分清。

一个技巧：选点的速度必须能联系已知和未知，且它的两个运动效果易见。

一个结论：一般来说，绳（或杆）两端沿绳（或杆）方向的速度相等。

3、方法应用

例2，如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°的斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（ ）

A.大小为v，方向不变和水平方向成60°

B.大小为 v，方向不变和水平方向成60°

C.大小为2v，方向不变和水平方向成60°

D.大小和方向都会改变

分析：该问题为合成问题，关键找到两个相互独立的分速度。

已知：绳向上收缩的速度为v，则橡皮向上的分速度为v

待求：橡皮合速度

寻找另一分速度：运动中悬线始终竖直，则钉子在斜面方向始终相对橡皮静止，则在沿斜面方向橡皮的运动与钉子一样。（绳不再收缩，橡皮也会随钉子沿斜面运动）

结果：按平行四边形法则求出合速度为 v，方向和水平方向成60°

二、卫星变轨中的速度大小比较问题

例3，如图，Ⅰ为卫星近地轨道，Ⅱ为椭圆轨道，Ⅲ为同步圆轨道，试比较v1 v2 v3 v4的大小。

1、所用知识点

稳定圆轨道运行速度大小比较：根据公式 ，r越大，v越小；

椭圆轨道上近月点速度大于远月点速度；

万有引力与向心力关系：

= 圆周运动

> 向心运动

< 离心运动

曲率半径与曲线弯曲程度关系：曲线越平（下接第93页）

（上接第92页）坦，曲率半径越大；曲线越弯曲，曲率半径越小。（曲率半径即为轨道半径）

2、经典解释

Ⅰ、Ⅲ轨道为稳定圆轨道，Ⅲ轨道半径大，运行速率小，则v1> v3；

Ⅱ为椭圆轨道，近月点速度大于远月点速度，则v2> v3；

又因为在P点和Q点附近加速，以实现变轨，则v2> v1，v4> v3；

综上，v2> v1>v4> v3。

3、新解释

经典解释侧重强调变轨过程中存在P点和Q点附近加速这一短暂物理过程，从而得到v2> v1，v4> v3。从数学角度，我们还可以从变轨结束后的稳定轨道角度比较得出这对关系：

在Ⅰ轨道上的P点： =在Ⅱ轨道上的P点： =

其中r为卫星到月心的距离，r1、r2为曲率半径且r1 v1；

同理，在Ⅱ轨道上的Q点： = 在Ⅲ轨道上的Q点： =

其中为r，卫星到月心的距离，r3、r4为曲率半径且r3 v3；

又因为Ⅰ、Ⅲ轨道为稳定圆轨道，Ⅲ轨道半径大，运行速率小，则v1> v3；

Ⅱ为椭圆轨道，近月点速度大于远月点速度，则v2> v3；

综上，v2> v1>v4> v3。

三、结束语

笔者在高三复习课的授课过程中，补充了上述的解释。学生加深了对关联速度原理和原则的了解，提高了对卫星变轨过程的“万有引力提供向心力”的认识，解决了难以理解的问题。

参考文献：

[1] 甄学霞，李 兴.卫星变轨中几个速度大小的比较[J].物理教学探讨，2011，29（421）：41-42.

摘 要：高考理综物理题目中，常会考查关联速度和卫星变轨中的速度大小比较。学生在学习这部分内容的时候没有理解其原理。在关联速度上，作者以例题为载体，通过讲清两个疑问的方式，让学生明白其原理和原则。在变轨中的速度大小比较上，作者提出了从变轨结束后的稳定轨道比较变化前后的速度。

关键词：关联速度；卫星变轨；速度；高考物理

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）16-092-02

高考理综物理题目中，曲线运动这一章常会考查关联速度和卫星变轨中的速度大小比较。这两类题目都算不上大题，但学生掌握的情况不太好。实际上，学生在学习这部分内容的时候没有理解其原理，很多时候只是在记结论，这导致了他们在高三复习中再做相关题时，一错再错。因此，笔者觉得这部分内容需要一些详细的梳理。

一、关联速度问题

快速准确的寻找物体与物体之间速度的关联关系是速度的合成与分解的难点。对于速度的合成与分解，学生没有找到像牛顿运动定律一样的比较“硬”的依据，总感觉这样分解可以，那样分解也行，常常无从下手。实际上，分解它也要遵循一定的原则。

1、例题探究

例1，人在岸上以速度vo匀速直线前进，通过定滑轮牵引水面上的小船A靠岸。求：当绳子与水平方向的夹角为θ时，小船运动的速度大小。

分析：

已知量：人以速度vo匀速，则绳收缩的速度（沿绳方向的速度）也是vo

待求量：船的速度v

速度关联：绳上各点速度与船速似乎都有关系，但绳与船的连接点关联更明显，该点速度等于船速，一直为水平方向，但该点也具有绳上其他点的特点：沿绳收缩和垂直于绳转动。（也可理解为两个运动效果）

结果：v= /cosθ

疑问1 为什v0么不按水平和竖直两个方向分解连接点速度？

答：连接点的实际速度本就是水平，没法水平和竖直分解。

疑问2 为什么不分解绳上其他点，而是分解连接点速度？

答：其它点的实际速度不好找，也不是已知量，无法将已知和未知联系起来；其它点沿绳方向速度已知且为v0，即使按水平和竖直两个方向分解该速度，得到的水平速度也小于船速。

2、方法总结

两个原则：被分解速度必须是实际速度；实际运动的两个效果互不干扰，假设撤掉一个运动，另一个运动短时间仍存在。

一个分清：合运动和分运动要分清。

一个技巧：选点的速度必须能联系已知和未知，且它的两个运动效果易见。

一个结论：一般来说，绳（或杆）两端沿绳（或杆）方向的速度相等。

3、方法应用

例2，如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°的斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（ ）

A.大小为v，方向不变和水平方向成60°

B.大小为 v，方向不变和水平方向成60°

C.大小为2v，方向不变和水平方向成60°

D.大小和方向都会改变

分析：该问题为合成问题，关键找到两个相互独立的分速度。

已知：绳向上收缩的速度为v，则橡皮向上的分速度为v

待求：橡皮合速度

寻找另一分速度：运动中悬线始终竖直，则钉子在斜面方向始终相对橡皮静止，则在沿斜面方向橡皮的运动与钉子一样。（绳不再收缩，橡皮也会随钉子沿斜面运动）

结果：按平行四边形法则求出合速度为 v，方向和水平方向成60°

二、卫星变轨中的速度大小比较问题

例3，如图，Ⅰ为卫星近地轨道，Ⅱ为椭圆轨道，Ⅲ为同步圆轨道，试比较v1 v2 v3 v4的大小。

1、所用知识点

稳定圆轨道运行速度大小比较：根据公式 ，r越大，v越小；

椭圆轨道上近月点速度大于远月点速度；

万有引力与向心力关系：

= 圆周运动

> 向心运动

< 离心运动

曲率半径与曲线弯曲程度关系：曲线越平（下接第93页）

（上接第92页）坦，曲率半径越大；曲线越弯曲，曲率半径越小。（曲率半径即为轨道半径）

2、经典解释

Ⅰ、Ⅲ轨道为稳定圆轨道，Ⅲ轨道半径大，运行速率小，则v1> v3；

Ⅱ为椭圆轨道，近月点速度大于远月点速度，则v2> v3；

又因为在P点和Q点附近加速，以实现变轨，则v2> v1，v4> v3；

综上，v2> v1>v4> v3。

3、新解释

经典解释侧重强调变轨过程中存在P点和Q点附近加速这一短暂物理过程，从而得到v2> v1，v4> v3。从数学角度，我们还可以从变轨结束后的稳定轨道角度比较得出这对关系：

在Ⅰ轨道上的P点： =在Ⅱ轨道上的P点： =

其中r为卫星到月心的距离，r1、r2为曲率半径且r1 v1；

同理，在Ⅱ轨道上的Q点： = 在Ⅲ轨道上的Q点： =

其中为r，卫星到月心的距离，r3、r4为曲率半径且r3 v3；

又因为Ⅰ、Ⅲ轨道为稳定圆轨道，Ⅲ轨道半径大，运行速率小，则v1> v3；

Ⅱ为椭圆轨道，近月点速度大于远月点速度，则v2> v3；

综上，v2> v1>v4> v3。

三、结束语

笔者在高三复习课的授课过程中，补充了上述的解释。学生加深了对关联速度原理和原则的了解，提高了对卫星变轨过程的“万有引力提供向心力”的认识，解决了难以理解的问题。

参考文献：

[1] 甄学霞，李 兴.卫星变轨中几个速度大小的比较[J].物理教学探讨，2011，29（421）：41-42.