一类行列式的插值解法

吴佐慧， 刘合国

(湖北大学 数学系，湖北 武汉 430062)

本文采用的术语和符号是标准的，按照文[1].

行列式是线性代数中的重要类容，一方面它是必不可少的处理问题的工具，另一方面它又有自身的理论体系，在线性代数以后的教学内容以及后续课程和工程技术中都有着广泛的应用. 因此，掌握行列式的相关知识是学好线性代数的关键一环. 在日常教学以及研究生考试中，行列式的计算更是必不可少的，但很多学生对这部分的内容掌握得不是特别好，他们觉得内容枯燥，计算繁琐，并且容易出错. 本文将应用Lagrange插值的思想给出一类典型行列式的统一解法，提高学生的学习兴趣，使学生能更好地掌握这块内容，并且能抓住知识的本质，体会到数学的简洁与自然.

插值是基本的数学思想，有着重要的应用. 比如当上述定理中n=2时，称为线性插值，也叫做两点插值. 已知函数y=f(x)在给定互异点x0,x1上的值为y0=f(x0),y1=f(x1)，线性插值就构成一个一次多项式P1(x)=ax+b使它满足条件P1(x0)=y0,P1(x1)=y1. 其几何解释就是一条直线通过已知两点A(x0,y0),B(x1,y1).

设D=|aij|n×n是n阶行列式，称n阶行列式D(x)=|aij+x|n×n为D的加项行列式. 加项行列式有很多好的性质，它在计算一些行列式的时候有巧妙的应用.

性质2[1]设D=|aij|n×n是n阶行列式，则其加项行列式

其中Aij为D中aij的代数余子式.

不难发现该性质反应的是插值的思想，接下来我们将用该思想计算一类行列式.

例1计算行列式

其中a≠b.

解记D和D(x)如下：

显然

D(-a)=(x1-a)(x2-a)…(xn-a),D(-b)=(x1-b)(x2-b)…(xn-b).

由性质2可得

解方程组可得

注 取x1=x2=…=xn，即为安徽大学研究生入学试题，见[4]第33页题62; 若x1=x2=…=xn=0,且a=b=1，即为1997年高数4考试题，见[4]第31页题59; 若x1=x2=…=xn=b=1，且a=-1，即为1994年华中师范大学研究生入学试题，见[4]第39页题70; 若b=-a，即为1996年华中师范大学研究生入学试题，见[4]第46页题83.

例2计算行列式

解记D和D(a)如下：

由性质2可得

·(x3-a)…(xn-a)+…+(x1-a)(x2-a)…(xn-1-a)].

注 例1和例2的常规解法是递推法或加边，然后再化成爪型行列式进行求解，计算过程有些繁琐. 但应用插值的思想(性质2)使得解答过程既简单又自然.

例3计算行列式

其中a≠b, 且ab≠0.

解因为ab≠0，所以

记D和D(x)如下：

显然

D(-a)=-a(x1-a)(x2-a)…(xn-a)，

D(-b)=-b(x1-b)(x2-b)…(xn-b).

由性质2可得

解方程组可得

所以原行列式

例4计算行列式

其中a≠b, 且abcd≠0.

解因为abcd≠0，所以

记D和D(x)如下：

显然

同例3可得原行列式

例5计算行列式

解显然

记D和D(x)如下：

由性质2可得

则原行列式

注 若主对角线上的元素改为1+a1,2+a2,…,n+an，且a1·a2·…·an≠0，即为郑州大学、河北师范大学研究生入学试题，见[4]第32页题61.

例6计算行列式

其中a1·a2·…·an≠0.

解因为a1·a2·…·an≠0，所以

记D和D(x)如下：

由性质2可得

则原行列式

+a2(x1-a1)(x3-a3)…(xn-an)+…+an(x1-a1)·(x2-a2)…(xn-1-an-1).

例7计算行列式

其中a1·a2·…·an·b1·b2·…·bn≠0.

解因为a1·a2·…·an·b1·b2·…·bn≠0，所以

同例6可得原行列式的值为

Dn=a1·a2·…·an·b1·b2·…·bn·D(1)

+a2b2(x1-a1b1)(x3-a3b3)…(xn-anbn)+…

+anbn(x1-a1b1)(x2-a2b2)…(xn-1-an-1bn-1).

例8计算行列式

解显然

当a≠b时，由例1可得(x1=x2=…=xn=0)，原行列式的值为

当a=b时，由例2可得(x1=x2=…=xn=0)，原行列式的值为

[参 考 文 献]

[1] 王萼芳，石生明，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M]. 3版.北京:高等教育出版社, 2003.

[2] 王萼芳，石生明，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数辅导与习题解答[M]. 北京:高等教育出版社, 2007.

[3] 樊恽，郑延履，刘合国. 线性代数学习指导[M]. 北京:科学出版社, 2007.

[4] 钱吉林, 高等代数题解精粹[M]. 北京:中央民族大学出版社, 2002.