弹性支承对三维曲壁板颤振特性的影响

张飞霆，杨智春，高 扬，赵令诚

（西北工业大学 航空学院结构动力学与控制研究所，西安 710072）

自20世纪50年代飞行器速度达到超音速以来，壁板颤振问题已受到普遍关注，许多学者对其进行了理论和试验研究。壁板颤振是飞行器表面蒙皮结构由于空气动力、惯性力和弹性力的相互耦合作用而产生的一种气动弹性不稳定现象，是一种自激振动。壁板颤振虽然不会导致飞行器结构迅速的发生破坏，但其所引发的结构疲劳裂纹问题会严重影响飞行器寿命和飞行安全。为了避免这种有害的振动，对壁板结构进行合理的设计就显得尤为重要。Plaut［1］就针对铝合金壁板，在壁板不发生颤振的约束条件下，对壁板的厚度分布进行了优化设计，以达到减轻重量的目的。Pier-son［2］针对带有气动阻尼的壁板优化问题进行了数值分析，研究指出气动阻尼在一定的范围之内时，气动阻尼的增大，有助于减轻壁板的重量。Dowell［3］从定量和定性方面详细的讨论了曲壁板非线性颤振特性，指出壁板沿顺气流方向的曲率会减小颤振临界动压、增加非线性颤振幅值，由于板的初始曲率引入的气动静载荷将对曲壁板的颤振边界产生较大的影响，在处理曲壁板颤振问题时应考虑静态载荷产生的静变形。Azzouz等［4－6］应用有限元方法系统研究了初始拱高、热载荷和气流偏角等因素对曲壁板颤振特性的影响，研究表明随着初始拱高的增大，颤振是由更高阶模态耦合产生的；随着温度的升高，颤振临界动压逐渐下降。在国内，张蕊丽等［7］在曲壁板的非线性颤振方面做了初步的研究，指出初始几何曲率和温升的变化会改变曲壁板颤振失稳的耦合模态。杨智春等［8］对超音速气流中二维受热曲壁板颤振行为进行了研究，分析了动压参数对二维曲壁板分叉特性的影响，指出初始几何曲率和气动热效应使得曲壁板的动力学特性更为复杂。这些工作都是针对曲壁板颤振特性分析而开展的，没有涉及到提高曲壁板颤振动压的研究。

随着新一代飞行器设计马赫数的提高，高超音速飞行器蒙皮壁板防颤振设计的首要任务是提高曲壁板颤振速度，而工程中常用的提高壁板颤振速度方法，就是增加壁板厚度或对壁板加筋，但是这种措施会带来壁板结构重量增加的负面效应，寻求其他提高曲壁板颤振速度的方法，是一项既有学术意义又有工程应用背景的研究工作。本文提出了一种在曲壁板上附加一个弹性支承来提高其颤振动压的方法，应用频率重合理论探究了弹性支承位置以及支承刚度对曲壁板颤振动压的影响规律，并对采用附加弹性支承的防壁板颤振设计提出了相应建议。

1 曲壁板的颤振运动方程

考虑如图1所示超声速气流中带一个附加弹性支承的圆柱壳金属曲壁板，气流沿x轴方向。图2为曲壁板上任一点的变形。

图1 附加弹性支承的金属曲壁板模型Fig．1 The physicalmodal ofmetalmaterial curved panelwith concentrated elastic support

图2 曲壁板上任一点的变形Fig．2 Coordinates details of a point belonging to the curved panel

当考虑附加弹性支承时，通常采用两个简化假设：

（1）只考虑弹性支承在z轴方向的线性刚度，即认为支承是线性点支承；

（2）支承是理想无质量的弹性元件。因此，只需考虑弹性支承对曲壁板总体刚度矩阵的影响。

壁板的位移矢量包括两个面内位移u和v，两个分别绕x和y轴的法线转角位移，弯曲位移w。根据von Karman大变形应变－位移关系，曲壁板的总应变为中面位移产生的应变、考虑大变形时挠度引起的面内附加应变、弯曲产生的应变和曲壁板初始拱高w0＝w0（x，y）引起的Marguerre应变的和。

横向剪切应变为

曲壁板表面的气动力采用一阶活塞气动力理论计算，其表达式为：

qa＝为气流的动压为 Prandtl－Glauert因子，V∞为气流速度，M∞为气流马赫数，Λ为气流与x轴的夹角。w，t为弯曲位移对时间t的一阶导数。w0，x，w0，y分别是曲板初始几何形状 w0（x，y）对坐标x和y的导数。式（3）的前两项与平壁板的活塞气动力表达式相同，最后一项为顺气流方向上曲壁板初始曲率引起的气动静载荷。

对于处于平衡状态的结构，根据虚功原理，内力虚功等于外力虚功

曲壁板的单元内力虚功的表达式为

S为壁板单元面积，αs为横向剪切修正因子。

单元外力虚功的表达式为

当没有弹性支承时，经过单元组装，得到整个曲壁板结构的内力虚功及外力虚功分别为［5］

式中，［M］为曲壁板的结构质量矩阵，［Ca］为气动阻尼矩阵，［Ka］为气动刚度矩阵，［K］为线性刚度矩阵，［K］s为剪切刚度矩阵，［K］θ0为由初始几何曲率影响矩阵引起的线性刚度矩阵，［N1］为考虑von Karman非线性应变位移关系后，与结点位移一次项有关的一阶非线性刚度矩阵，［N1］θ0为由初始几何曲率影响矩阵引起的一阶非线性刚度矩阵，［N1］Nm为由面内变形｛wm｝引起的一阶非线性刚度矩阵，［N1］Nb为由面外弯曲变形｛wb｝引起的一阶非线性刚度矩阵，［N1］Nθ0为由初始几何曲率影响矩阵、面外弯曲变形｛wb｝和扭转变形｛wψ｝引起的一阶非线性刚度矩阵，［K2］为与结点位移二次项有关的二阶非线性刚度矩阵，｛W｝为位移向量。

因为一阶非线性刚度矩阵和二阶非线性刚度矩阵都是经过组装形成的总体刚度矩阵，阶数相同，因此在计算时可以相加。

当在曲壁板上附加一个弹性支承时，曲壁板结构的内力虚功表示为

kspr为弹性支承的刚度系数，［λi］为支承弹簧的定位矩阵，下角标i表示集中弹性支承的附加结点位置编号，结点编号由有限元网格划分决定，当附加弹性支承位于结点i时，该矩阵对应的第（i，i）元素置1，其他的元素均置0。

由虚功原理，可得到带有一个弹性支承的曲壁板非线性颤振运动方程为

由于本文研究中，气流方向沿圆柱壳母线方向，气流作用下曲壁板无静变形，则非线性颤振运动方程（10）中的一阶非线性刚度矩阵和二阶非线性刚度矩阵均为零矩阵。从而方程（10）退化为曲壁板的线性颤振运动方程

2 曲壁板的颤振运动方程求解

曲壁板的线性颤振运动方程（11）可采用特征值法求解。引入无量纲化的动压λ：

D110表示曲壁板弯曲刚度矩阵［D］的第一个对角线项D（1，1），a为壁板顺气流方向的长度。

上标θ0表示该矩阵与曲壁板的初始几何曲率影响矩阵有关。展开式（13）的第二行可以得到

展开式（13）的第一行并将式（14）带入，可得只包含曲壁板离面位移的气动弹性颤振运动方程：

假设曲壁板在颤振临界点的响应为

将式（16）代入气动弹性颤振运动方程中得

化为矩阵形式，则附加弹性支承的系统特征方程

由式（18）的系统特征方程计算在不同λ下壁板颤振系统的特征值Ω＝ΩR＋iΩI，从复特征值实部的正负号即可判断曲壁板颤振系统的稳定性。绘制出λ～ΩR曲线，插值得到ΩR＝0所对应的λ，即为曲壁板颤振临界动压 λcr。

3 数值算例分析与讨论

采用文献［9］中的超音速飞行器铝合金曲壁板作为研究对象，其力学性能参数见表1。

表1 铝合金的力学性能参数Tab．1 Themechanical properties of alum inum alloy

曲壁板四边简支，投影平面为矩形，几何尺寸为：0．38 m×0．305 m，厚度为 h＝0．002 m，最大初始拱高为H＝0．002 m，曲壁板有限元模型如图3所示。

图3 曲壁板有限元模型Fig．3 Curved panel Finite elementmodal

曲壁板有限元模型的结点编号如俯视投影图4所示。为了更简洁的表示弹性支承在壁板上的位置，下文的结果讨论中，采用了归一化的坐标 ξ＝x／a，η＝y／b。考察弹性支承位置对颤振动压影响时，弹性支承位置分别沿图4中A1－A1、B1－B1等网格线在结点上移动。

3.1 弹性支承位置对曲壁板颤振动压的影响

图5给出了弹性支承刚度系数为1 000 D（D表示曲壁板的弯曲刚度）时，弹性支承位置改变对曲壁板颤振动压的影响。从图中可以看出，当支承位于壁板的中心位置时颤振动压最小，支承在（ξ，η）＝（0．2，0．5）和（ξ，η）＝（0．8，0．5）处时颤振动压最大。

图6绘示了在顺气流方向，曲壁板的颤振动压随弹性支承位置变化的趋势。随支承位置的移动，曲壁板颤振动压先增大，当弹性支承位于壁板展向中线距前缘20%弦长处时，曲壁板的颤振动压达到极大值。然后随着位置向中点接近颤振动压开始减小，在中点处（即曲壁板中点位置）达到极小值，随后颤振动压又开始增大，在距后缘20%弦长处达到极大值，之后再开始减小。在附加弹性支承前后，曲壁板发生颤振的耦合模态都为其前两阶固有模态，因此产生这种现象的机理，可依据颤振的频率重合理论进行分析，通过弹性支承位于不同位置时参与曲壁板颤振耦合的各阶模态频率的变化来进行解释。图7中可以看到，当支承位于曲壁板中心结点（61点）时，由于弹性支承的作用，曲壁板的前两阶模态频率分别为178．7 Hz和242．1 Hz，而无附加弹性支承时，曲壁板的前两阶模态频率分别为165．7 Hz和242．1 Hz。可以看出弹性支承仅使得曲壁板的第1阶模态频率提高而第2阶模态频率保持不变，即第1阶模态频率更加靠近第2阶模态频率，故前两阶模态更容易发生耦合而使得颤振动压降低。当支承位于结点28时，由于弹性支承作用，曲壁板的前两阶模态频率分别为169．8 Hz和250．6 Hz，与无弹性支承情况相比，曲壁板的前两阶模态频率都有所提高，有弹性支承时该两阶模态的频率之差为80．8 Hz，而无弹性支承时该两阶频率之差为76．4 Hz，即弹性支承使得曲壁板前两阶频率之差变大，根据颤振的频率重合理论，其颤振动压得到提高。

图5 集中弹性支承位置对颤振动压的影响Fig．5 The influence of concentrated elastic support to dynamic pressure

图6 顺气流方向颤振动压随支承位置的变化Fig．6 Dynamic pressure vs elastic support position

图7 模态频率随支承位置的变化（支承在A1－A1截线）Fig．7 Modal frequency vs elastic support position

图8绘示了弹性支承位置在垂直气流方向移动时，曲壁板颤振动压的变化趋势。图9绘示了弹性支承位于曲壁板中线（ξ＝5／10）上不同结点位置时，前两阶模态频率的变化曲线。

从图8看到，当弹性支承靠近曲壁板边界（ξ＝1／10和 ξ＝3／10）时，对其颤振动压影响较小，随着支承位置向曲壁板中线移动，颤振动压也随之增大，而当弹性支承在与上述网格线几何位置对称的两条网格线（ξ＝7／10和 ξ＝9／10）上移动时，颤振动压随支承位置变化的曲线分别与其相应对称网格线的动压曲线基本重合，说明在顺气流方向，弹性支承位置在前后缘处颤振动压几乎没有差别。如图9（a）所示，这是由于当弹性支承位于靠近简支边界位置（例如B2－B2网格线）时，使得曲壁板前两阶模态频率都发生变化，但前两阶模态频率之差都大于不带弹性支承的情况，使得带弹性支承后曲壁板颤振动压得到提高。

图8中ξ＝5／10的曲线可以看出，当弹性支承位于曲壁板结构垂直气流方向的中线位置时，随着支承向曲壁板中心点位置移动，颤振动压达到一个极小值，然后又逐渐增大。

图8 垂直气流方向颤振动压随支承位置的变化Fig．8 Dynamic pressure vs elastic support position

图9 模态频率随支承位置的变化Fig．9 Modal frequency vs elastic support position

图10 颤振动压随支承刚度的变化趋势Fig．10 Dynamic pressure vs elastic support position

图11 模态频率随支承刚度的变化Fig．11 Modal frequency vs elastic support stiffness

这是由于集中弹性支承位于曲壁板中线上时，只改变结构的第1阶模态频率，而对第2阶模态频率没有影响，如图9（b）所示。随着支承向曲壁板中点移动，第1阶模态频率提高，而第2阶模态频率没有变化，依据颤振的频率重合理论，前两阶模态频率更为接近，该两阶模态的耦合更容易使曲壁板发生颤振失稳，因而曲壁板的颤振动压降低。

3.2 弹性支承刚度对曲壁板颤振动压的影响

图10为考虑附加弹性支承在曲壁板不同结点位置时，改变附加弹性支承刚度对曲壁板颤振动压的影响，并与无弹性支承时曲壁板的颤振动压进行比较。

从图10可以看出，当曲壁板没有附加弹性支承时（对应支承刚度为0），曲壁板的无量纲颤振动压为323．3。当支承在顺气流方向靠近曲壁板中心附近区域时（如图中结点50、61），随着弹性支承刚度的增大，曲壁板的颤振动压减小，而当支承在顺气流方向远离曲壁板中心附近区域时（如图中结点17、28、39），随着弹性支承刚度的增大，曲壁板的颤振动压随之增大。

从弹性支承位于两个不同的代表性位置（结点28、61）处的模态频率随刚度变化的趋势进行分析，可以解释这个现象。如图11（a）所示，弹性支承位于结点28处时，随着支承刚度的增大，前两阶模态频率均呈增大的趋势，但第2阶模态频率的增幅更大，即前两阶模态频率之差随着支承刚度的增大而增大，根据颤振的频率重合理论，曲壁板的颤振动压得到提高。如图11（b）所示，弹性支承位于结点61处时，由于结点61为曲壁板第1阶模态的节点，随着刚度的增大，弹性支承对第2阶模态频率没有影响，而第1阶模态频率随之增大，即前两阶模态频率逐渐靠近，根据颤振的频率重合理论，曲壁板的颤振动压会减小。

4 结 论

本文提出了一种在四边简支曲壁板上附加一个弹性支承来提高曲壁板颤振临界动压的方法，研究了弹性支承的位置和刚度对曲壁板颤振速度的影响规律，应用频率重合理论分别分析了改变弹性支承刚度和位置对曲壁板颤振特性的影响。在工程实际中采用增加弹性支承的方式来改善曲壁板的颤振稳定性时，还需要解决如下一些问题：弹性支承的具体实现；弹性支承位置的精确确定以及与壁板连接；弹性支承材料的选择；弹性支承本身质量的影响。目前的研究是为这一技术途径的工程实现提供理论上的参考。本文的研究结果表明：

（1）弹性支承位于曲壁板中心点附近区域或位于弦向中线上时，都会导致曲壁板颤振动压降低且随着支承刚度的增大而减小；在曲壁板中心点处，颤振动压降低幅度最大；

（2）弹性支承位置沿垂直于气流方向且远离弦向中线变化时，都会使颤振动压提高，且随着支承刚度的增大而增大；

（3）当支承位置在前缘和后缘部位顺气流方向变化时，颤振动压都会提高；

（4）采用附加弹性支承的方法来提高曲壁板颤振动压时，应将弹性支承布置在曲壁板展向中线距边界约20%弦长处。

本文得到的弹性支承对曲壁板颤振特性影响的定性规律，适用于其他尺寸及构型的曲壁板和平壁板，只是具体的最佳弹性支承大小和位置不同。本文的研究是在颤振频率重合理论的基础上开展的，从不同弹性支承下的模态节线变化，即模态耦合的角度来研究弹性支承对曲壁板颤振稳定性的影响，是后续要开展的工作。

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