让“问题解决”成为数学教学活动的核心内容
——“直棱柱的表面展开图”教学实践与思考

●傅瑞琦 (金华市教育局教研室 浙江金华 321000) ●胡新颖 (东阳市外国语学校 浙江东阳 322100)

让“问题解决”成为数学教学活动的核心内容
——“直棱柱的表面展开图”教学实践与思考

●傅瑞琦 (金华市教育局教研室 浙江金华 321000) ●胡新颖 (东阳市外国语学校 浙江东阳 322100)

“问题解决”是课程目标的重要组成部分，其核心是从数学的角度发现、提出和理解问题，综合运用所学知识和技能分析解决问题，引起学生的数学思考，在问题解决的过程中发展学生的数学思维.因此，教师需要创设情境，引导学生观察思考，逐步探索，不断提出问题、解决问题，在问题解决的过程中，让学生形成问题解决的策略，体验问题解决的方法，培养用“数学”角度去思考和解决问题的习惯，积累思维的经验.

基于此，本文结合浙江省“携手行动”送教(丽水)活动中的课例“直棱柱的表面展开图”，探讨如何让“问题解决”成为教学活动的核心内容，设计有效问题系列，以问题探究来引导、维持和激发学生的学习兴趣，利用数学知识这个载体发展思维，将思维能力的培养贯穿于教学的全过程.

1 教学实录

1.1 创设情境，提出问题

在一个长、宽、高分别为3 m，2 m，2 m的长方体房间内，一蜘蛛在点A处，一苍蝇在点B处.

(1)如图1，点A，B是立方体的顶点，试问：蜘蛛为捉住B处的苍蝇，沿墙面的最近线路如何爬行?

图1

图2

(2)世界谜题：如图2，点A在一面墙的中间，离天花板0.1 m处，点B在对面墙的中间，离地面0.1 m米处，试问：蜘蛛为捉住B处的苍蝇，沿墙面的最近线路如何爬行?

让学生在纸盒实物上画出蜘蛛的爬行线路，与同伴交流，思考：所画的爬行线路是最短的吗?

问题(1)的解决，学生利用“两点之间线段最短”的原理，得出方法：联结AB，沿线段AB爬行即为最短距离;但对问题(2)的解决，学生画出了图形(如图3)，引导学生思考，所画的图形中那一种线路最短?依据是什么?

图3

点评展开数学课程的“问题”应该是新颖丰富、具有思维含量、密切联系生活实际的.立方体墙面两点的最近线路问题，自然引导学生用数学观点、数学角度思考，并形成解决问题的意识.问题(2)的交流探究过程中，学生根据已有的知识或经验不能加以解释，产生困惑，引起认知冲突.联系问题(1)，引导学生思考如何将立体图形转化为平面图形，即如何转化为已有知识来解决问题，感受学习展开图的必要性和重要性，激发学习动机.

1.2 引导探究，发现新知

1.2.1 示范演示

如何剪开立方体?

(1)如图4，用剪刀剪开棱AB后，接下去可以沿哪条棱剪呢?

图4

(2)观察剪出的图形有什么特点?

教师演示剪开立方体，一方面给出示范，另一方面不同的剪法得到不同的展开图，自然渗透分类思想.学生观察后得出特点：6个面;沿棱剪开;面相连，并归纳出立方体表面展开图的概念.

1.2.2 探究归纳

4人小组合作，剪出立方体的展开图：

(1)你们组剪出的表面展开图与图4一样吗?如果不一样，请将你的作品展示到黑板上.

(2)观察展开图，你能够得到哪些结论?各小正方形的位置与图4有相似之处吗?立方体相对的2个面，在其展开图中的位置如何?

(3)各组贴到黑板的展开图，呈现比较凌乱，你有办法排排位置吗?

(4)观察整理后的展开图，你发现了什么?

图5

生1：我剪得的展开图5与图4类似，共有3层：第1层有1个正方形，第2层有4个正方形，第3层也是1个正方形.

师：如果把这一类叫做1-4-1型，你剪得的展开图是属于这一类吗?把这一类的放在一起，说说它们的特点?

生2：我们发现的规律是：第2层4个正方形，第1层和第3层是一个正方形的展开图可以任意位置摆放(如图6).

图6

师：其他的展开图，你能够继续分类吗?并说出它们的特点?

生3：第1层有1个正方形，第2层有3个正方形，第3层有2个正方形，称为1-3-2型(如图7).

图7

生4：每一层都是2个正方形，称为2-2-2型(如图8).

图8

图9

图10

师(呈现图9和图10追问)：它们会是立方体的展开图吗，你如何判断?

生5：不是，只要把图形折回去或者想象中折一下就可以判断.

师：观察整理后的展开图，说说你们的发现.通过思考讨论，学生归纳出如下结论：

生6：展开图有6个面，一共有11种，根据面的位置可以分为1-4-1型、2-3-1型、2-2-2型.

生7：立方体相对的2个面在其展开图中的位置不相连.

生8：展开图各面“日”相连，没有“凹”相连，也没有“田”相连.

点评学生思维的“渐进”，需要问题的层层引导来完成.在这一过程中，教师示范展开图的剪法，为学生的小组探究指明了方向：“你的表面展开图与图4一样吗?”引导学生观察对比，寻找共同点;面对杂乱无序的展开图，提出“你发现了什么?”增加了问题的探索性，引导学生分析各展开图的特点，进行分类，抽象概括出同一类展开图的共同本质属性;判断一个图形是否是立方体展开图的方法，即通过实际操作或空间想象，体会“展开与折叠”之间的对应转化关系;在进一步理解展开图的概念时作了精致安排，“图9与图10是否是立方体的展开图?”对展开图的反例作判断，让学生在任务驱动下理性思辨展开图的特点、要素，以便更准确地把握概念.

1.3 新知应用，辨析巩固

1.3.1 我来找一找

(1)选择立方体展开图其中的一面，让你的同伴找出这一面的对面.

(2)图11是一个正方体纸盒的展开图，在各正方形中分别填入 －1，7，2，a，b，c，折叠成正方体后相对面上的2个数互为相反数，则数a，b，c为多少?

图11

图12

1.3.2 我来添一添

图12是否是一个立方体的展开图?如果不是，你能够将小正方形纸片a添加在合适的位置，使它成为一个立方体的展开图吗?

图13是学生得到的结果.

图13

1.3.3 我来算一算

牛奶包装盒如图14所示.为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样.

图14

(1)如图14，给出甲、乙、丙3种纸样，它们会是包装盒的展开图吗?

图15

(2)从正确的纸样中选出一种，标注上尺寸.

(3)要生产这个牛奶包装盒，你能算出需要多少纸板吗(不计接缝材料)?

生1：(1)图丙错误;

(2)在图甲标上的数据(如图15);

(3)包装盒的面积为

师：你能理解这位同学求包装盒面积的方法吗?你还可以用什么方法计算?

生2：这是求立方体表面积的方法，还可以求展开图的面积=10.5(4+6+4+6)+6×4×2=258(cm2).

师：解题后，说说你的想法.

生3：在展开图中标上尺寸时，需要找到对应的面，找到对应的线段.

生4：计算纸板的面积可以通过计算展开图的面积，也可以通过计算立方体的表面积.

点评这是新知应用的过程，目的是获得分析问题和解决问题的方法策略，积累问题解决的经验.“我来添一添”让学生动手操作，可以添上一个正方形直接进行判断，也可以利用展开图的图形特征来摆放正方形，体现问题解决方法途径的多样性、开放性，有效发展学生的创新意识;“我来算一算”中“你能理解这位同学求包装盒面积的方法吗?你还可以用什么方法计算?”引导学生倾听理解他人的思路后提出自己的解题思路，并加以正确表达，丰富问题解决的思路，关注求异思维.解题后，让学生“说说你的想法”，及时引导反思，总结解题经验，以培养学生在问题解决中的优化意识.

1.4 小结反思，知识建构

这节课获得的概念是什么?说说你对概念的理解?在解决相关问题时有什么方法可以借鉴?

通过学生的回答归纳如下：

(1)概念：立方体的表面展开图→长方体的表面展开图，体现特殊到一般的思想;

(2)结论：同一个几何体的表面展开图并不唯一，可以按不同类型分类;

(3)方法：判断是否是立方体的展开图，一是空间想象，二是动手折叠;

(4)思想：立体图形→平面图形，体现转化思想.

点评从概念、结论、方法和思想这4个层面对本节课总结与反思，优化直棱柱表面展开图的认识，并在深入思考的过程中，深化对数学的认识，为以后的问题解决提供了思路.

1.5 解决问题，拓展提高

呈现引课的世界谜题，请回答下列问题：

(1)图16是一学生根据图2画出的展开图，请你标出点A的位置，并说说你的想法.

标出图形中点A的位置后，学生纷纷表达了各自的想法.

图16

生1：点A与点B所在面是长方体的对面.

生2：就画点A的位置，不需要画出整个展开图，只需画出展开后点A，B所在的面就可以.

生3：有不同的展开方法，AB的距离有可能不同.

(2)小组合作，观察实物模型，画出展开图后思考：如何画出需要的展开图?

图17

图18

组1：以点B所在面不动，这样展开有4种情况，图17 中AB=5;图18 中，

组2：点A，B所在的面分别以上下前后4个面为基础展开，也有4种情况如图19所示.

图19

点评这是一个利用这节课所学知识来解决谜题的过程，问题解决需要“立体到平面”的转化，体现问题解决的通法.如果直接让学生解决谜题，由于展开方法的不同，从不同的爬行路线选择出最短线路有一定的难度，这就需要设计问题(1)作为思维台阶，先让学生在已有的展开图中找点A的位置，感受在不同的展开图中AB的距离是不一样的.在问题(2)的解决过程中，关注了解决问题的策略、方法和途径的多样性，发展创新意识，促进学生对数学知识的深度理解，引发学生的认知迁移.

2 实践思考

2.1 整体设计，体现核心内容

这节课的设计给出了一个课题学习的过程，整节课围绕问题解决来组织，将“问题解决”作为数学教学活动的核心内容，紧紧围绕“实际问题，抽象成数学问题，研究解决方法，解决问题”展开教学活动(如图20所示).

图20

问题情境的创设，形成一种轻松愉快的气氛和生动活泼的环境.精心设置的“问题”，关注学生的已有经验，引起学生对结论迫切追求的愿望，将学生置于一种主动参与的位置.抽象数学问题后，组织学生对直棱柱表面展开图进行研究，通过观察、探究、发现，逐个解决系列问题，归纳概括表面展开图的特征，并内化问题解决的数学思想方法.通过新知应用，辨析巩固，掌握本节课的知识和基本技能，理顺问题解决的思维通道，从而顺利解决引课中提出的世界谜题.

在整个教学活动过程中，由于教学设计时能够充分考虑学生已有知识，以“问题”贯穿整个教学过程.教学环节的自然、流畅，在每一个环节，使学生在设问和释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，学生能够积极参与其中，很好地实现了“问题解决”的课程目标，让学生学会数学思考，积累思维经验，增强应用意识.

2.2 问题系列，激活数学思维

解决问题的过程实际上是一个逐步探索、不断进行问题提出、问题解决的过程，这就需要设置符合学生认知规律的问题系列，在逐步解决的过程中，让学生体验、发现、归纳几何体与展开图之间的关系以及解决问题的思维方法.如为归纳出展开图的特征，分解成问题序列：学生剪出的展开图与教师剪的有什么相似之处?目的是引导分类，得出1-4-1型展开图;给出图形判断是否是立方体的展开图，得出判断展开图的2种方法;提出对其余展开图如何分类，归纳得出展开图的1-3-2型和2-2-2型;对图9和图10是否是展开图的判断，从反例中进一步辨析展开图的特征;判断立方体相对2个面在其展开图中的位置，让学生进一步总结展开图的特征.这样从最初的猜测、比较判断，到分类，到特征归纳，是一个由易到难、有序递进、动态开放的问题链.依据学生的活动进程，解决的问题可以为后继问题的解决提供思维台阶，形成一种爬坡式的整体感，最后完成对立方体展开图特征的归纳概括.

因此，在问题解决的过程中，经历抽象、推理和建模等数学思想的形成和发展过程，激活学生的数学思维.

2.3 解决问题，有效突破难点

包装盒面积的计算、谜题的解决是本节课的教学难点，需要将立体问题转化为平面问题，并将相关数据在平面图形中对应标出，特别是谜题的解决，需要在不同展开图的比较中寻找最短线路，学生还是有困难的.课例安排“我来找一找”、“我来添一添”环节的问题引领，突破“我来算一算”例题的难点;谜题解决时安排“问题(1)”的思考，强调学生的动手操作和主动参与，对谜题的解决无疑是有效的，让学生在观察、操作、想像、交流等活动中认识立体图形，树立空间观念，完善认知结构.

［1］ 史宁中.义务教育数学课程标准(2011年版)解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］章建跃.探究教学规律造就教学名师［J］.中国数学教育，2011(1/2)：5-10.

［3］许芬英.自主学习教材全解［M］.杭州：浙江教育出版社，2012.

［4］弗赖登塔尔.中小学数学教学论著译丛：数学教育再探——在中国的讲学［M］.上海：上海教育出版社，1999.