麻花钻螺旋槽数控加工中砂轮位置的自动搜索

李 铸 宇，张 伟，贺 凤 宝，胡 建 忠

(大连工业大学 机械工程与自动化学院，辽宁 大连 116034)

0 引 言

麻花钻的前刀面是螺旋面。它除了提供钻削加工中所需要的排屑空间，同时也影响主切削刃的形状和前角[1]，是决定钻头切削性能的重要结构。螺旋槽的廓形传统上要求与形成廓形的刀具形线一一对应，并且形线精度要求严格[2]。这显然很难适应现代制造业出现的各种难加工材料。由于加工性能差别大，必须设计各种合适的槽型。目前数控制造中使用的硬质合金钻头，螺旋槽的加工只能用金刚石砂轮磨削。由于金刚石硬度高，修整砂轮费工费时，传统的设计方法显得困难而且成本高。

近年来，出现了模拟加工运动的直接法[3]。它是采用外形简单的圆柱砂轮，加工指定芯厚和径向前角的螺旋槽。芯厚的要求保证了钻头的刚度，前角则影响钻头的排屑和切削力等性能。同一片砂轮可以通过调整安装位置加工出不同的槽形，方法灵活，适应各种槽型，成为研究热点，但一些设计依靠经验数据确定砂轮加工位置[4]；另一些采用粒子群(PSO)搜索算法，需要3 000次冗长的迭代计算得到结果[5]。砂轮的加工位置同时影响螺旋槽的芯厚和径向前角，使求解变得困难。

中心距和偏心距决定加工出的螺旋槽轮廓形状[3]。应用这个性质，提出一种新的有效解决上述难题的方法。首先，设定一个初始的中心距，满足芯厚的条件；在保证芯厚不变的条件下，调整砂轮加工位置，将满足芯厚和前角的条件分步实现；最后，用一维搜索的优化方法满足给定径向前角。

1 满足芯厚条件的初始中心距

如图1所示，以钻头的后端面中心为原点，建立全局坐标系｛o：x，y，z｝，z轴和钻头轴线重合；动坐标系｛o1：x1，y1，z1｝附着在砂轮上，z1轴和砂轮轴线重合；z轴与z1轴之间的夹角β称为安装角；初始时刻，x1轴和x轴重合；z轴与z1轴之间的垂直距离称为中心距A。在加工的过程中，保持砂轮的方向固定不变，安装角β和螺旋参数p设定为常量。

图1 坐标系Fig.1 Coordinate systems

如图2，钻头的半芯厚(rw)定义为螺旋槽横截面曲线的内切圆半径；径向前角(γ)为外缘转点与圆心的连线，和该点螺旋槽轮廓曲线的切线之间的夹角。如图3圆弧砂轮，r是砂轮半径，ρ是圆弧半径。将砂轮垂直z1轴方向离散成直径不同的薄片。砂轮的左侧第1个薄片的直径最大，记为大圆Q。它到原点o1的距离称为偏心距T1。砂轮的加工位置由中心距A和偏心距T1确定。

图2 芯厚和径向前角Fig.2 Web and radial rake angle

图3 砂轮Fig.3 Grinding wheel

如图4，在初始位置，将大圆Q的圆心o2放置于毛坯轴线的正上方，这时偏心距T1＝0。由于直径最大的这个砂轮薄片切入毛坯材料最深，它将决定加工出的螺旋槽的芯厚。当中心距A设定为

即可保证半芯厚rw。

图4 机床加工位置Fig.4 Machining position

2 调整中心距和偏心距满足芯厚条件

确定了初始中心距后，如果在调整中心距和偏心距的过程中，保持芯厚不变，则同时满足芯厚和前角两个条件，就能分步实现：第1步满足芯厚，第2步满足前角。

如图4，观察砂轮在垂直钻头轴线的横截面上的投影。以砂轮端面Q的圆心o2作为原点，建立辅助坐标系｛o2：x2，y2，z2｝。其中，x2和x轴重合；y2，z2轴分别和y，z轴平行。垂直z1轴方向对砂轮切片，每一个薄片都是直径不同的圆。每个砂轮薄片在螺旋运动中，将毛坯材料去除。

任意一个砂轮薄片在主视图平面x2o2y2中的投影是一个椭圆。整个砂轮薄片的投影就是这些椭圆相互叠加，形成的最外部的轮廓，用微分几何中平面曲线族的包络表示。在调整中心距和偏心距时，如果让钻头毛坯始终和这条包络曲线保持相等的距离，就能满足芯厚的条件。用砂轮圆弧部分的圆周角φ记录砂轮薄片的位置，砂轮薄片在平面x2o2y2中的投影用参数方程(椭圆方程)表示为

其中，θ是这个砂轮薄片上对应点的圆周角。所有砂轮投影的外部轮廓用平面曲线族的包络方程来表示[6]：

由式(2)计算偏导，包络方程(3)化简为

对于砂轮上任意一点对应的φ值，都可以由式(4)计算出它对应的包络角θ，将它代入式(2)中，得到包络点。由式(4)和(2)联立，所有包络点的连线构成了砂轮投影的边缘，记作投影曲线S1。

在图4中确定φ取值范围。平行于z轴作砂轮圆弧的切线，切点B将圆弧分为AB和BC两部分，切点B对应的φ等于β。AB段的所有砂轮薄片直径大于BC段砂轮薄片，BC段砂轮薄片的投影被AB段砂轮薄片的投影完全遮挡，砂轮AB段投影有效。因此，投影曲线S1上φ∈ [0，β]。

当砂轮绕毛坯轴线做螺旋运动时，砂轮在主视图中的投影曲线S1的形状始终不变。整个加工过程，从投影图上来看，就是曲线S1绕圆点o旋转。

3 利用相对运动将设计变量参数化

为了满足芯厚和前角的条件，以上第1步确定了砂轮和钻头相对运动的轨迹。这时，设定砂轮固定不动，钻头的中心沿投影曲线S1的等距曲线S2运动，保证芯厚不变。

投影曲线S1的等距曲线用微分几何计算[6]。砂轮的中心距A和偏心距T1用变量表示。如图4，在初始位置，在平面x2o2y2内移动钻头，这实际上是改变砂轮的中心距A和偏心距T1这两个变量的值。用移动后钻头轴线的坐标值xm和ym记录砂轮和钻头的相对位置：

在平面x2o2y2上，作曲线S1的等距曲线S2，它们之间的距离等于半芯厚rw。如果钻头的中心始终位于这条等距曲线S2上，这保证了砂轮和钻头中心之间半芯厚的关系，也就是钻头轴线的坐标值xm和ym满足曲线S2的方程。投影曲线S1用φ的参数方程表示：

为了推导等距曲线S2的方程，计算S1上面任意一点的法矢

其中，α′和α″分别表示α对变量φ的一阶和二阶导数。等距曲线S2用矢量表示

钻头中心的坐标值xm和ym满足式(8)，写成坐标分量形式

将式(5)代入式(9)

由式(6)求导数，得到αx，αy，nx，ny的解析表达式。

任意给定φ值，由式(10)即可确定中心距A和偏心距T1。中心距的初值A＝r＋rw，偏心距的初值T1＝0，即式(10)φ＝0的情况，它是满足芯厚条件的初始解。

4 满足给定径向前角γ0

径向前角γ由螺旋槽在外缘转点处的切线，用数值求导的方法得到。大量的数值计算表明，当钻头的中心在图4中的第4象限变化时，径向前角γ为正值。以φ作为变量，构造一个目标函数f(φ)：

其中，γ0是给定的径向前角。如图5所示，φ∈[0，β]是目标函数f(φ)的一个单峰区间。采用一维优化中常用的0.618法求解，计算流程见文献[7]。

图5 目标函数f(φ)Fig.5 Merit function f(φ)

5 实 例

上述算法适用于带圆弧的直圆柱砂轮(图6)。钻头和砂轮尺寸见表1。设定初始的安装位置，选取砂轮后端，圆弧部分的最大直径作为大圆Q，将Q的圆心o2放置于毛坯轴线的正上方。由式(11)一维搜索得到参数φ，唯一确定中心距A和偏心距T1。螺旋槽的横截面曲线计算采用直接法[3]。螺旋槽的加工轨迹如图7(a)，实际加工出的螺旋槽轮廓如图7(b)。

图6 直圆柱砂轮Fig.6 Cylindrical grinding wheel

表1 钻头和砂轮尺寸Tab.1 Dimensions of drill and grinding wheel mm

图7 加工轨迹和横截面轮廓Fig.7 Machining locus and cross－sectional profile

数值迭代值见表2。实际加工出的钻头和计算结果的比较见表3。程序迭代20次，达到ε＝10－6收敛精度。实验结果表明，加工试件的芯厚和径向前角测量数据和设定值的误差小于2%。

表2 数值迭代值Tab.2 Iterative data

表3 钻头的设计值和测量值对比Tab.3 Comparison of the calculated data for the samples manufactured

6 结 论

(1)自动搜索确定砂轮安装位置，为麻花钻数控加工提供一种实用而且精确的方法。

(2)将砂轮安装位置的调整，看成在横截面投影曲线上钻头的相对运动，问题解决的策略是推导等芯厚的解析表达式，将同时满足芯厚和前角的条件分步完成。

(3)实际加工的沟槽横截面数据的测量和计算结果误差小于2%，证明方法有效。算法可直接应用于钻头开槽机的软件设计。

[1]倪志福，陈璧光.群钻：倪志福钻头[M].上海：上海科学技术出版社，1999：8－19.

[2]KANG S K，EHMANN K F，LIN C.A CAD approach to helical groove machining—I.mathematical model and model solution[J].International Journal of Machine Tools and Manufacture，1996，36(1)：141－153.

[3]ZHANG Wei，WANG Xianfeng，HE Fengbao，et al.A practical method of modelling and simulation for drill fluting[J].International Journal of Machine Tools and Manufacture，2006，46(6)：667－672.

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