逐次极值法及其应用

陈 刚

(南通职业大学基础部，江苏南通226007)

寻求三元函数F(x,y,t)在有界闭区域Ω上的最小值，经典的微分法已解决理论定位[1]：找出区域Ω内部的驻点和边界上的疑似极值点，比较它们的函数值，即可确定全区域的最小值.

但理论定位还远未完全解决现实的最小值认定.在实际问题中，一方面内部驻点和边界极值点通常没有解析表达，难以比较函数值；另一方面虽然计算机程序可提供足够精度的数值计算，但函数F(x,y,t)中往往含有大量的参数，这些参数未给定具体数值前或处于变动时无法实施数值搜索.此外，经典微分法着眼于整体处置，缺少个性特点，运算量比较大.

为了解决上述困难，本文考虑运用逐次极值法，并结合典型案例，说明逐次极值法的实际分析操作.

1 逐次极值法原理与算法

1.1 逐次极值法的原理

定理1设F(x,y,t)的可行域为Ω，对于每一个固定的t∈{t|(x,y,t)∈Ω}，二元函数F(x,y,t)取得最小值φ(t).若函数φ(t)在t=t*时取得最小值φ(t*)，则φ(t*)必为三元函数F(x,y,t)在区域Ω中的最小值.

证根据最小值的可达性知，存在(x*,y*,t*)∈Ω使φ(t*)=F(x*,y*,t*).再根据φ(t)的定义知，对于任意(x,y,t)∈Ω，

F(x,y,t)≥φ(t)≥φ(t*)=F(x*,y*,t*).

定理1给出了求最优解的逐次递推方法：对于固定的t，可得到低维区域Dt⊂Ω，求出Dt中的最小值点x=x(t)，y=y(t)，则φ(t)=F(x(t),y(t),t)，然后设法求出φ(t)的最小值.

这里的x=x(t)，y=y(t)是区域Ω中的曲线，称之为优势曲线，φ(t)称为优势函数，最小值点(x(t*),y(t*),t*)也叫最优点.最优点的位置往往随函数中的参数而变，分析优势曲线和优势函数，可以获得各个可能极值点成为最优点的充分必要条件，进而完成最优性的理论定位……