有理真分式部分分式分解的证明及系数公式

傅莺莺

(北京工商大学理学院，北京100048)

1 引 言

在高等数学中，经常遇到计算有理函数的高阶导数、幂级数展开、以及不定积分等问题. 除了极其简单或特殊情况以外，这类问题都要用有理真分式的部分分式分解来解决. 然而，数学教材中通常只介绍分解定理的结果而不提证明，并且对于如何确定分解系数都只给出了单一的待定系数法[1,2]，有待进一步讨论的问题很多.

对于有理真分式的部分分式分解定理，文献[3]给出了一个基于数学分析技巧和方法的证明，文献[4]通过对分母多项式的次数归纳进行证明，过程都较繁琐. 本文拟用多项式知识构造性地完成其证明，过程较简单. 至于分解系数的确定，文献[5-8]等展开了研究，其中有的针对某些特殊有理函数，有的单从某一角度提出了某种算法，有的提出用泰勒公式、留数等概念进行计算. 所用的方法看似很多，但本质不外乎待定系数法、赋值法、极限法和求导法；得到的公式虽然很多，但形式不统一且结果不完整. 有鉴于此，本文完整地给出了运用赋值法、极限法与导数法求分解系数的计算公式.

2 有理真分式部分分式分解的存在唯一性证明

证显然只需证明s=2的情形，当s>2时递归应用s=2的结论即可.

设Q(x)=Q1(x)Q2(x)且Q1,Q2互素，则存在多项式S1(x),S2(x)使得1=S1Q1+S2Q2，从而

令PS2,PS1分别除以Q1,Q2得PS2=R1Q1+P1,PS1=R2Q2+P2，则

下证分解的唯一性. 若另有T1(x),T2(x)满足

从而Q2(P1-T1)=Q1(T2-P2). 又因为Q1,Q2互素，所以Q1(P1-T1). 注意到P1-T1的次数低于Q1，故P1=T1. 同理可证P2=T2.

Q(x)=(x-a1)λ1…(x-as)λs(x2+p1x+q1)μ1…(x2+ptx+qt)μt,

(1)

其中等式右侧分式均为真分式. 根据多项式基本知识(事实……