Berthelot方程在空气中比热容比的研究

陈 漓，陈志福，黄彩敏

(百色学院物理与电信工程系，广西 百色 533000)

准确测定气体的比热容比在热力学理论及工程技术的应用中起着重要的作用，大学物理实验中测量气体比热容比的方法种类较多，绝热膨胀法和振动法是主要的两种方法［1-2］.方法虽然简单但误差较大，且运用的范围很有限，结果只适用于常温常压，较高压强难以运用.

气体的比热容比可以运用声速法进行测定，用声学共振干涉法可以准确测出声速的数值［3］.通过声速的精确测量，运用相关的热力学关系式，可以较精确地导出气体的比热容比.国内外大多数文献基本上在这方面运用理想气体状态方程的声速公式推出气体的比热容比与声速的关系［2-5］.文献［2］运用vdW 气体研究比热容比与声速的关系，在中低压范围内能较好地与实测值相适应.本文运用实际气体的Berthelot状态方程的Virial形式来推导气体比热容比和声速的关系式，与实验值相比较的结果具有较高的准确性，这说明用Berthelot气体比热容比关系式来描述实际气体比热容比的特性，具有比理想气体和vdW气体更强的实际应用价值.

气体比热容比与声速的关系可运用气体传播特性来推导.气体在介质中传播过程可视为可逆绝热过程，即等熵过程［6］.声速可用下式表示.

式中:υ为声速，p为压强，ρ是物质的密度，S是熵.

运用热力学关系式可得:

上式即为比热容比与声速的热力学关系式，式中γ=Cp/CV为比热容比，V为摩尔体积，Mm为气体的摩尔质量.

1 Berthelot气体比热容比与声速关系的推导

对于(1)式，我们可通过热力学关系推导出一些结论.引入压缩因子Z=，则(1)式可写为:

把Virial方程以Berlin型展开，则有:

Z(T，p)=1+B'(T)·p+C'(T)·p2+D'(T)·p3+ …这样我们可以得到Berthelot equation of state

的一个等效的Berlin型Z表达式.

代入(2)式，在压强不太高的情况下上式中压强的高次项可忽略，因而有

上式即为Berthelot气体的比热容比与声速的关系式.

把理想气体状态方程代入(1)式，我们可以得到理想气体的比热容比与声速关系式

表1 压强p=0.101 3 MPa和p=1.0 MPa的空气比热容比γ数值

2 数据分析

为了对比理想气体和Berthelot气体的比热容比，我们以空气作为研究的对象，温度和压强范围分别是100～100 0 K和0.101 3 MPa～1 MPa，把温度和压强的数值分别代入(3)、(4)式得到的结果与实验给出的比热容比进行比较.在(3)、(4)式中，Mm、R和 a、b为常量，声速 υ的值来自文献［7］所提供的数据.

表1是在压强分别为p=0.101 3 MPa和p=1.0 MPa的状况下分别用理想气体的方法和Berthelot气体的方法对空气的比热容比计算得到的结果，并与实验值相互比较.在此我们应用Matlab软件，对表1的数据进行分析处理并绘制γ-T图，如图1、图2所示.

图1 压强p=0.101 3MPa下的空气比热容比γ与温度T的关系图

图2 压强p=1.0 MPa下的空气比热容比γ与温度T的关系图

对表1的理论值与实验值进行比较，在压强为p=0.101 3 MPa时，理想气体状态方程得到的空气比热容比平均误差为0.99﹪，Berthelot气态状态方程得到的空气比热容比平均误差为0.12﹪.在压强为p=1.0 MPa时，理想气体状态方程得到的空气比热容比平均误差为6.63﹪，Berthelot气体状态方程得到空气比热容比平均误差为1.68﹪.

从表1以及图1、图2分析可以得到:在温度T≥250 K时，理想气体和Berthelot气体都能较好地与实验值相吻合;当温度T≤250 K时，理想气体偏差很大，尤其是当压强增大时.而Berthelot气体依然能较好体现出空气比热容比的实际情况.与文献［2］比较，Berthelot气体比热容比与实验值的误差也小于vdW气体.

3 结论

从上述结果可以看出，Berthelot气体比热容比的变化规律与实际气体比热容比的变化相关性较好.实际气体在相当大的压强范围内，更近似地遵守Berthelot状态方程，无论是在低温还是在压强较高的情况下，Berthelot的比热容比的数值与实验值的误差更小，曲线吻合的程度更好，这可以由表1、图1和图2反映出来.由此我们认为，这是Berthelot气体在考虑分子引力项时引入了与温度T的函数关系，这更能准确反映出气体状态变化的特性.

［1］Chamberlain，Jeff.Determination of the specific heat ratio of a gas in a plastic syringe［J］.The Physics Teacher，2010(4):233-235.

［2］陈漓.vdW气体比热容比与音速关系的理论研究［J］.文山学院学报，2012(6):56-60.

［3］Tsutomu Hozumi，Haruki Sato，Koichi Watanabe.Speed of sound in gaseous difluoromethane［J］.J.Chem.Eng.Data，1994，39:493-495.

［4］Bohn D A.Enviromental effects on the speed of sound［J］.Journal of the Audio Engineering Society，1988，36:223-231.

［5］George S K，Wong Tony，Embleton F W.Variation of specific heats and of specific heat ratio in air with hu-midity［J］.J Acoust Soc Am，1984，76(2):555-559.

［6］陈漓.理想气体与vdW气体声速的研究［J］.百色学院学报，2010(6):80-84.

［7］Lemmon E W，Penoncello S G，Friend D G，et al.Thermodynamic properties of air and mixtures of Nitrogen，Argon，and Oxygen from 60 to 2000 K at pressures to 2000 MPa［J］.Journal of Physical and Chemical Reference Data，2000(3):331-385.