函数题中参数取值范围的确定方法例谈

杨培绍

一、问题的提出

函数题中求参数的取值范围是高考中经常出现的问题，常用的解题方法是分离参数法，转化为求新函数的最值；但如果解析式中含ex、lnx或sinx等，则新函数的最值可能难以计算，导致无法做下去.下里例谈几种确定参数取值范围的方法.

二、问题的解决

1.普遍方法——分离参数法

【例1】已知函数f（x）=x2+bx+a·lnx的图像过点（1，1）.

（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调递减区间；

（2）若g（x）=f（x）+21x在[1，+∞）上为单调函数，求实数a的取值范围.

解析：（1）略.

（2）易得f（x）=x2+a·lnx，

∴g（x）=x2+a·lnx+21x，

∴g′（x）=2x+a1x-21x2=2x3+ax-21x2，

∵g（x） 在[1，+∞）上为单调函数，则有以下两种情况.

①如果g（x）单调递增，则2x3+ax-2≥0a≥-2x3+21x在[1，+∞）上恒成立，

令F（x）=-2x2+21x，易知F（x）在[1，+∞）上递减.

∴F（x）max=F（1）=-2+211=0，∴a≥0.

②如果g（x）单调递减，同理可求得a≥0.

综上：a的取值范围是[0，+∞）.

点评：通法容易理解掌握，若新函数的最值易求，则此通法为上策.

2.结构变形——运用整合思想法

【例2】（2012年全国新课标卷第16题）设函数f（x）=（x+1）2+sinx1x2+1的最大值为M，最小值为m，则M+m=.

解析：若对y=f（x）求导，再利用单调性求最值将陷入繁冗的运算中，无果而终，仔细观察其表达式，将其结构变形，得f（x）=2x+sinx1x2+1+1，F（x）=2x+sinx1x2+1是奇函数，至此，问题很容易就可以解决.

点评：数学是研究结构式的一门科学，善于利用数学表达式的结构解决问题是具备较高数学素养的表现之一.

3.移项转化——画基本函数的图像解决

【例3】（2012年大纲卷第20题）

图1设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].

（1）略讨论f（x）的单调性；

（2）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.

解析：（1）略.

（2）∵ax+cosx≤1+sinx，

设h（x）=ax-1，

φ（x）=sinx-cosx=2sin（x-π14），

∵ax+cosx≤1+sinxax-1≤sinx-cosxh（x）≤φ（x），

从图1知，若h（x）≤φ（x）（x∈[0，π]）成立，

则问题转化为求a≤kBD即可.

故ax-1≤sinx-cosx21πx-1≤sinx-cosx，

∵h（0）=-1，φ（0）=-1，h（π）=π·a-1，φ（π）=1，

图2下面只要证明：21πx-1≤sinx-cosx即可.

设F（x）=sinx-cosx-21πx+1，

∴F′（x）=cosx+sinx-21π，

设cosx0+sinx0-21π=0，

当00；

当x0

∴F（x）max=F（x0），又F（0）=0，F（π）=0，

∵F（x）≥0，

∴21πx-1≤sinx-cosx，

∴a≤21π.

点评：数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”在解题中应结合图像通过移项、重组等方式将问题转化为常见的、熟悉的函数（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等）.通过图像研究函数问题是具备较高数学素养的表现之一.

4.图像转化

【例4】已知函数f（x）=2x-1（x>0）

-x2-2x（x≤0），若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，求实数m的取值范围.

图3解析：函数y=f（x）图像如图3所示，令f（x）-m=0得f（x）=m有三个零点，即y=f（x）与y=m两个图像有三个交点，由图知0

点评：遇到与抽象函数、超越函数、超越方程、超越不等式、分段函数等有关的问题，应尽量由题意转化为图像进行解决，类似的问题如2012年高考题：当0

5.猜想转化——得到目标再试证

【例5】（2008年全国卷22）已知函数f（x）=sinx12+cosx.

（1）略；

（2）如果x≥0时，f（x）≤ax恒成立，求实数a的取值范围.

解析：思路1分离参数得a≥sinx1x（2+cosx），然后求右式的最大值，思路符合常规想法，但再做下去就难了.

思路2先猜想转换，得到目标再证，设F（x）=sinx1x（2+cosx），∵x→0时，sinx≈x，F（x）→113，x→+∞时，F（x）→0.猜测F（x）在[0，+∞）是递增函数，∴a≥113.

下证：（1）a≥113时，f（x）≤ax对x≥0恒成立；

（2）当a<113时，fx≤ax不是对一切x≥0成立.

下略.

点评：先猜再证，目标明确就有证题方向了.

6.放缩转化——丢ex、lnx或sinx

【例6】（2013年辽宁卷）已知函数f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+x312+1+2xcosx.，当x∈[0，1]时，

（1）求证：1-x≤f（x）≤111+x；

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围.

解析：（1）略.

（2）（1+x）e-2x≥ax+x312+1+2xcosx

（1+x）e-2x-ax-x312-1-2xcosx≥0.

设F（x）=（1+x）e-2x-ax-x312-1-2xcosx

≥1-x-ax-x312-1-2xcosx（放缩丢e-2x）

=-x（1+a+x212+2cosx）

设G（x）=x212+2cosx，

则G′（x）=x-2sinx，

∴G″（x）=1-2cosx，

∵x∈（0，1），

∴G″（x）≤0，

∴G′（x）在（0，1）上递减，

∴G′（x）

∴G（x）在（0，1）上递减，

∴G（x）≤G（0）=2，

∴a+1+G（x）≤a+3.

当a+3≤0时，即a≤-3时，f（x）≥g（x）恒成立，

下证：当a+3>0时，即a>-3时，f（x）≤g（x）不恒成立，

F（x）=f（x）-g（x）≤111+x-1-ax-x312-2xcosx（放缩丢e-2x）

=-x（111+x+x212+2cosx+a）.

设I（x）=111+x+x212+2cosx+a=111+x+a+G（x），

∵I′（x）=-11（1+x）2+G′（x），

又x∈（0，1）时，I′（x）<0，

∴I（x）在（0，1）上递减，

∴a+1+2cos1≤I（x）≤a+3，

存在x0∈（0，1），使得I（x0）>0，此时，f（x0）

综上所述，a的取值范围为（-∞，-3].

点评：遇到含有或lnx或sinx，若题目隐含有可放缩的条件（如（1）是为（2）做放缩提供条件），则放缩丢掉或lnx或sinx，使解析式更简，然后使问题迎刃而解.

三、结束语

问题是数学的核心，学数学的目的是要学会分析问题，然后解决问题.解决问题中，转化（化归）问题是关键，学生解决不了问题的原因大多是基础知识掌握不牢固，基本概念理解不到位，基本技能、基本方法的运用不熟练，不能举一反三.归根结底是不会转化（化归）问题.本文列举了求参数取值范围的多种转化（化归）方法，旨在抛砖引玉，让大家对这一问题有更多的解决方案以及做进一步的研究.

（责任编辑钟伟芳）

【例6】（2013年辽宁卷）已知函数f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+x312+1+2xcosx.，当x∈[0，1]时，

（1）求证：1-x≤f（x）≤111+x；

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围.

解析：（1）略.

（2）（1+x）e-2x≥ax+x312+1+2xcosx

（1+x）e-2x-ax-x312-1-2xcosx≥0.

设F（x）=（1+x）e-2x-ax-x312-1-2xcosx

≥1-x-ax-x312-1-2xcosx（放缩丢e-2x）

=-x（1+a+x212+2cosx）

设G（x）=x212+2cosx，

则G′（x）=x-2sinx，

∴G″（x）=1-2cosx，

∵x∈（0，1），

∴G″（x）≤0，

∴G′（x）在（0，1）上递减，

∴G′（x）

∴G（x）在（0，1）上递减，

∴G（x）≤G（0）=2，

∴a+1+G（x）≤a+3.

当a+3≤0时，即a≤-3时，f（x）≥g（x）恒成立，

下证：当a+3>0时，即a>-3时，f（x）≤g（x）不恒成立，

F（x）=f（x）-g（x）≤111+x-1-ax-x312-2xcosx（放缩丢e-2x）

=-x（111+x+x212+2cosx+a）.

设I（x）=111+x+x212+2cosx+a=111+x+a+G（x），

∵I′（x）=-11（1+x）2+G′（x），

又x∈（0，1）时，I′（x）<0，

∴I（x）在（0，1）上递减，

∴a+1+2cos1≤I（x）≤a+3，

存在x0∈（0，1），使得I（x0）>0，此时，f（x0）

综上所述，a的取值范围为（-∞，-3].

点评：遇到含有或lnx或sinx，若题目隐含有可放缩的条件（如（1）是为（2）做放缩提供条件），则放缩丢掉或lnx或sinx，使解析式更简，然后使问题迎刃而解.

三、结束语

问题是数学的核心，学数学的目的是要学会分析问题，然后解决问题.解决问题中，转化（化归）问题是关键，学生解决不了问题的原因大多是基础知识掌握不牢固，基本概念理解不到位，基本技能、基本方法的运用不熟练，不能举一反三.归根结底是不会转化（化归）问题.本文列举了求参数取值范围的多种转化（化归）方法，旨在抛砖引玉，让大家对这一问题有更多的解决方案以及做进一步的研究.

（责任编辑钟伟芳）

【例6】（2013年辽宁卷）已知函数f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+x312+1+2xcosx.，当x∈[0，1]时，

（1）求证：1-x≤f（x）≤111+x；

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围.

解析：（1）略.

（2）（1+x）e-2x≥ax+x312+1+2xcosx

（1+x）e-2x-ax-x312-1-2xcosx≥0.

设F（x）=（1+x）e-2x-ax-x312-1-2xcosx

≥1-x-ax-x312-1-2xcosx（放缩丢e-2x）

=-x（1+a+x212+2cosx）

设G（x）=x212+2cosx，

则G′（x）=x-2sinx，

∴G″（x）=1-2cosx，

∵x∈（0，1），

∴G″（x）≤0，

∴G′（x）在（0，1）上递减，

∴G′（x）

∴G（x）在（0，1）上递减，

∴G（x）≤G（0）=2，

∴a+1+G（x）≤a+3.

当a+3≤0时，即a≤-3时，f（x）≥g（x）恒成立，

下证：当a+3>0时，即a>-3时，f（x）≤g（x）不恒成立，

F（x）=f（x）-g（x）≤111+x-1-ax-x312-2xcosx（放缩丢e-2x）

=-x（111+x+x212+2cosx+a）.

设I（x）=111+x+x212+2cosx+a=111+x+a+G（x），

∵I′（x）=-11（1+x）2+G′（x），

又x∈（0，1）时，I′（x）<0，

∴I（x）在（0，1）上递减，

∴a+1+2cos1≤I（x）≤a+3，

存在x0∈（0，1），使得I（x0）>0，此时，f（x0）

综上所述，a的取值范围为（-∞，-3].

点评：遇到含有或lnx或sinx，若题目隐含有可放缩的条件（如（1）是为（2）做放缩提供条件），则放缩丢掉或lnx或sinx，使解析式更简，然后使问题迎刃而解.

三、结束语

问题是数学的核心，学数学的目的是要学会分析问题，然后解决问题.解决问题中，转化（化归）问题是关键，学生解决不了问题的原因大多是基础知识掌握不牢固，基本概念理解不到位，基本技能、基本方法的运用不熟练，不能举一反三.归根结底是不会转化（化归）问题.本文列举了求参数取值范围的多种转化（化归）方法，旨在抛砖引玉，让大家对这一问题有更多的解决方案以及做进一步的研究.

（责任编辑钟伟芳）