三阶非线性三点边值问题的正解

孔令彬，金前德

(东北石油大学数学与统计学院，黑龙江大庆 163318)

三阶非线性三点边值问题的正解

孔令彬，金前德

(东北石油大学数学与统计学院，黑龙江大庆 163318)

利用Krasnoselskii不动点定理及Ascoli-Arzela定理，研究含参数的非线性三阶三点边值问题，证明当参数取值范围不同时，该边值问题的正解存在性与不存在性.

非线性三阶三点边值问题；存在性；正解

0 引言

非线性三阶三点边值问题来源于应用数学与物理等领域，已受到人们重视和研究[1-15].Sun Y在文献[16]研究下述非线性三阶三点边值问题，即

式(3)、(4)较式(1)、(2)更一般些.当ρ=0时，式(3)、(4)与式(1)、(2)相类似，可采用文献[16]的方法考虑正解存在性.笔者考虑ρ＞0情形，通过适当变换，再利用Krasnoselskii不动点定理和Ascoli-Arzela定理，讨论参数变化时式(3)、(4)是否存在正解，所采用的方法与文献[16]不同，获得新结果.

假设：

(H1)对每个固定的u∈[0，+∞)，f(t，u)在t∈[0，1]上非负连续，对几乎所有的t∈[0，1]，f(t，u)关于u≥0单调非增；

定义 称函数u(t)为式(3)、(4)的一个正解，如果它满足

(ⅰ)u∈C1[0，1]∩C2(0，1)并在(0，1)内u(t)＞0；

(ⅱ)u(t)满足式(3)和式(4).

主要结论为

定理1 假设(H1)、(H2)成立，则存在λ*∈(0，+∞).当λ∈(0，λ*]时，式(3)、(4)至少存在一个正解；当λ∈(λ*，+∞)时，式(3)，(4)不存在正解.

1 式(3)、(4)的等价形式及预备引理

设C[0，1]是[0，1]上连续函数构成的Banach空间，C+[0，1]={v∈C[0，1]；v(t)≥0}，定义映射J：C+[0，1]→C+[0，1]，则

容易知道，若u(t)满足式(3)、(4)，令u′(t)+ρu(t)=-v(t)，则v(t)满足式(6)、(7)，其中Jv(t)由式(5)给出.反之，若v(t)满足式(6)、(7)，令u(t)=Jv(t)，则u(t)满足式(3)、(4)，因此边值问题式(3)、(4)与边值问题式(6)、(7)等价.

为证明文中主要结论，给出5个引理.

的解，则v″(t)-ρv′(t)+ρ2v(t)=-h(t)的任何解可表示为v(t)=C1φ1(t)+C2φ2(t)+φ0(t)，其中h∈C+[0，1]，C1，C2是任意常数.

证明 直接验证即可.

2 定理1的证明

即Φv∈K或Φ(K)⊂K.另外，易证Φ是全连续的.

引理7 假设(H1)、(H2)成立，若λ充分大，则式(6)、(7)无正解.

3 结束语

研究含参数的非线性三阶边值问题，给出该问题的Green函数，进而将该边值问题转化为等价的积分方程，在适当的空间上定义映射，通过利用Green函数的性质和锥不动点定理，证明正解的存在性.

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O175.8

A

2095-4107(2014)05-0121-06

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2014.04.015

2014-04-09；编辑关开澄

黑龙江省教育厅科学技术研究项目(12541076)

孔令彬(1956-)男，硕士，教授，主要从事非线性微分方程边值问题方面的研究.