广义Ekeland变分原理的推广

（重庆师范大学数学学院，重庆 401331）

（重庆师范大学数学学院，重庆 401331）

给出了经典Ekeland变分原理的一个推广,完善并改进了已有文献的证明,并把它推广到了拟度量空间上.

Ekeland变分原理；近似极小点；拟度量；序集通用准则

1 研究背景

1974年，Ekeland在文献［1］中首次提出了经典的Ekeland变分原理，即

设（X，d）是完备度量空间，f：X→R∪｛+∞｝为下半连续、下有界的真函数，设ε＞0，存在u∈X满足f（u）≤infχ∈Xf（χ）+ε.则存在ν∈X，使得

自Ekeland变分原理理论提出以来，在优化等领域中得到了进一步发展，众多学者对Ekeland变分原理理论进行了深入的研究，在一定条件下，得出Ekeland变分原理的一些等价形式及其应用，并对Ekeland变分原理从不同方面、不同角度进行了推广［2-5］.

在文献［2］中，Z.L.Wu在完备度量空间中利用Ekeland变分原理证明了Takahashiε-条件的等价定理，以及在弱尖极小及不动点等中的应用.在文献［5］中，Yousuke把Ekeland变分原理推广到了向量优化.文献［8］中，Ansari给出了向量形式的Ekeland变分原理，并给出了其在向量均衡问题及不动点中的应用.而文献［4］则把函数f在X上下有界的条件弱化为f在X的每个有界子集上有下界.而此处则完善并改进了文献［4］中定理1的证明并把它推广到了完备拟度量空间上.

众所周知，文献［6］中的经典序集通用准则蕴含了Ekeland变分原理.而此处将用文献［7］中的广义序集通用准则来证明此处的主要结果.

2 预备知识

定义1［9］设X为非空集合，映射d：X×X→R+，使得对任意的χ，y，z∈X，满足（1）d（χ，y）≥0.

（2）d（χ，y）=0当且仅当χ=y.

（3）d（χ，y）≤d（χ，z）+d（z，y）.

则称映射d是X上的拟度量，（X，d）称为拟度量空间.

引理1（广义序集通用准则）［7］设X是一个偏序集并且是一个Housdorff拓扑空间，同时满足

（1）∀χ∈X，｛y∈X l y＞χ｝是序列闭集.

（2）若χ1＜χ2＜…＜χn＜…，则｛χn｝有收敛子列.

（3）存在Ψ：X→R满足χ∈X，y∈X，χ＜y，χ≠y⇒Ψ（χ）＜Ψ（y）.

则X有极大元.

3 主要结果

由引理1可以推出下面的定理，并且改进并完善了文献［4］中的证明.

定理1［4］设（X，d）是一个完备拟度量空间，设f：X→R∪｛+∞｝为下半连续，并且在任意有界集上下有界的真函数.若存在χ0∈X，满足

［1］EKELAND I.On the Variational Principle［J］.JMath Anal Appl，1974（47）：324-353

［2］WU Z L.Equivalent Formulations of Ekeland’s Variational Principle［J］.JNonliear Analysis，2003（53）：609-615

［3］SUZUKIT.The Strong Ekeland Variational Principle［J］.JMath Anal Appl，2006（320）：784-794

［4］SUN JL.A Generalization of Ekeland Variational Principle and Its Applications［J］.Journal of NanJing Normal University：Natural Science，2004，27（4）：705-707

［5］ARAYA Y.Ekeland's Variational Princip le and Its Equivalent Theorems in Vector Optimization［J］.JMath Anal Appl，2008（346）：9-16

［6］BREZISH，BROWER F E.A General Principle On Ordered Sets in Nonlinear Functional Analysis［J］.JSys Sciand Math Scis，1976（3）：355-364

［7］SUN JX.A Generalization of General Principle On Ordered Sets in Nonlinear Functional Analysis［J］.JSys Sciand Math Scis，1990（3）：228-232

［8］ANSARIQ H.Vectorial Form of Ekeland-type Variational Principle with Applications to Vector Equilibrium Problems and Fixed Point Theory［J］.JMath Anal Appl，2007（334）：561-575

［9］AL-HOMIDAN S，ANSARI Q H，YAO J C.Some Generalizations of Ekeland-type Variational Principle with Applications to Equilibrium Problems and Fixed Point Theory［J］.JNonliear Analysis，2008（69）：126-139

广义Ekeland变分原理的推广

周 丽

Generalized Ekeland Variational Principle

ZHOU Li

（School of Mathematics，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China）

This paper gives a generalization of classical Ekeland Variational Principle，perfects and improves the proofs of the existed literatures and extends it into quasi-metric space.

Ekeland Variational Principle；approximately minimal point；quasi-metric；general principle on ordered sets

李翠薇

O177.4

A

1672-058X(2014)02-0019-04

2013-06-19;

2013-09-16.

周丽（1988-），女，四川仪陇县人，硕士研究生，从事向量优化及应用研究.

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