第21讲 不等式的基本性质

刘族刚

考情分析

不等式的基本性质与一元二次不等式式不等式是高中数学的重要内容和基础内容，是分析、解决有关数学问题的基础与工具，也是高考考查的重点，在近几年高考中，有关不等式的试题都占有较大的比重， 考查内容中不仅有不等式的基本性质、二次不等式的求解、求证、恒成立问题，而且容易与集合问题、二次方程和二次函数、三角、数列、复数、立体几何、解析几何等进行综合，形成中档或难题.

命题特点

不等关系常伴随函数、数列、立体几何、解析几何或实际问题进行考查，高考中考查不等式的性质多以选择、填空形式出现.而对于一元二次不等式，一般采用以下两种形式考查：一是考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题，二是以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题.

1. 比较代数式（值）的大小

例1 已知[x，y∈R]， 比较[x2-xy+y2]和[x+y-1]的大小.

解析 [（x2-xy+y2）-（x+y-1）] [=（x2-x）+（y2-y）-xy+1]

[=12（2x2-2x+2y2-2y-2xy+2）]

[=12（x2-2x+1+y2-2y+1+x2+y2-2xy）]

[=12[（x-1）2+（y-1）2+（x-y）2]].

∵[（x-1）2≥0]，[（y-1）2≥0]，[（x-y）2≥0]，

∴[12[（x-1）2+（y-1）2+（x-y）2]≥0].

∴[x2-xy+y2≥x+y-1].

点拨 作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论.其中判断差的符号为目的，变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.

2. 不等式性质的应用

例2 对于实数[a ，b ，c]，判断以下命题的真假.

（1）若[a>b]， 则[ac>bc]；

（2）若[ac2>bc2]，则[a>b]；

（3）若[aab>b2]；

（4）若[a|b|]；

（5）若[a>b]，则[ab>1]；

（6）若[a>b]且[1a>1b]， 则[a>0 ，b<0]；

（7）若[a>b]，则[a3>b3]；

（8）若[a>b]，则[|a|>b].

解析 （1）因为[c]的符号不定，所以无法判定[ac]和[bc]的大小，故原命题为假命题.

（2）因为[ac2>bc2]， 所以[c≠0]， 从而[c2>0]，故原命题为真命题.

（3）①因为[aab.]②又[ab2].综合①②得[a2>ab>b2]，故原命题为真命题.

（4）两个负实数，绝对值大的反而小.故原命题为真命题.

（5）当[b≤0]时，[ab>1]不成立，故原命题为假命题.

（6）因为[a>b，1a>1b，?a-b>0，1a-1b>0，?b-a<0，b-aab>0，]所以[ab<0].

又因[a>b]，所……