第22讲 简单的线性规划问题

刘忠君

考情分析

线性规划是高考热点之一，考查内容为求可行域面积、约束条件或目标函数中的参变量的取值范围、函数最优解（含整数最优解）等.值得注意的是近几年，非线性规划也受到青睐，与向量、概率、导数、定积分、实际问题相结合，虽然命题背景宽，但难度不大.

命题特点

近几年高考试题中，简单的线性规划与简单非线性规划问题多以选择题或填空题形式出现，但也有少数省市以解答题形式考查.高考对本知识点的考查具体方式为目标函数（或约束条件）中参数的几何意义：截距型、斜率型、点点距型、点线距型等，涉及到的数学思想方法主要是“数形结合”“化归转化”.

1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域

例1 [（x+2y+1）（x-y+4）≤0]表示的平面区域为 （ ）

[D] [C] [B] [A]

解析 原不等式可转化为[x+2y+1≥0，x-y+4≤0，]或[x+2y+1≤0，x-y+4≥0.]故选B.

点拨 作不等式的平面区域步骤：定界——定侧——定虚实.

2. 简单非线性规划问题

例2 已知实数[x，y]满足[x-y+2≥0，x+y-4≥0，2x-y-5≤0.]

（1）求[z=x+2y-8]的范围；

（2）求[z=x+yx+y+1]的范围；

（3）求[z=x2+y2-10y+25]的最值；

（4）求[z=2y+1x+1]的范围.

解析 （1）[z=x+2y-8=5×x+2y-85]表示区域内的点[（x，y）]到直线[x+2y-8=0]的距离的[5]倍，由图知，[5×x+2y-85∈[0，17]].

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（2）设[t=x+y]，由图可知直线[t=x+y]经过线段[AB]时[t]最小，直线经过点[C（7，9）]时[t]最大，则[t=x+y∈[4，16]][z=t1+t=1-1t+1∈[45，1617]]. [10][8][6][4][2] [5] [10]

（3）[z=x2+y2-10y+25=（x2+（y-5）2）2]记作[d2]，由图可知，点[（0，5）]与[C（7，9）]之距是[d]的最大值，点[（0，5）]到直线[x-y+2=0]的距离是[d]的最小值，所以[d∈[32，65]]，则[z∈[92，65]]，则[z]的最大值为65，最小值为[92].

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（4）[z=2y+1x+1=2y-（-12）x-（-1）∈[2kPB，2kPA]=[34，72]].

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3. 应用题中的线性规划问题.

例3 甲、乙两家公司生产同一种新产品.经测算，对于函数[f（x），g（x）]及任意的[x≥0]，当甲公司投入[x]万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于[f（x）]万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败的风险；当乙公司投入[x]万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于[g（x）]万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败的风险；……