浅谈幂级数的敛散性与函数的幂级数展开

马晓东 李淑娟

摘 要：幂级数是数学分析当中重要概念之一，在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个.幂级数被作为基础内容应用到了实变函数、 复变函数等众多领域.本文就幂级数的收敛半径 、收敛区间 、收敛域、 马克劳林级数等内容进行浅析.

关键词： 幂级数 敛散性 收敛半径 收敛区间 收敛域 马克劳林级数

中图分类号：O173 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0000-00

1幂级数的概念

1.1幂级数

形如 或 的级数称为幂级数，其中常数 叫做幂级数的系数.

1.2收敛半径与收敛区间[1]

如果幂级数 不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质：

当 时，幂级数 绝对收敛；

当 时，幂级数 发散；

当x=R与X=-R时，幂级数 可能收敛也可能发散.

正数R通常叫做幂级数 的收敛半径.由幂级数在 处的收敛性决定它在区间 、 或 上收敛，这区间叫做幂级数 的收敛域，而开区间（-R，R）称为幂级数的收敛区间.

如果 仅在X=0收敛，就规定R=0，如果 对一切X都收敛，则规定R= .

1.3收敛半径的求法

（1）对于不缺项的幂级数

定理 设幂级数 的系数有 则

①当0< < 时，有R=

②当 =0时，定义R=

③当 时，定义R=0

（2）对于缺项的幂级数，例如

令 ， ，考察 =

则当 <1时，级数收敛，此时可得知

①当 时，R= .

②当 时，R= .

③当 时，定义R=0.

2 将初等函数展开为幂级数

如果f（x）在点 的某邻域内具有各有阶导数 、 、…， …，这时称幂级数

为函数f（x）在x= 处展开的泰勒级数.

特别地，取 得幂级数

称为函数的马克劳林级数。

常用的马克劳林级数有：

1.

2.Sinx=

3.Cosx=

4.Ln（1+x）=

5.

3間接展开法

利用幂级数的基本……