自然且合理：高中数学课堂追求

王慕华

数学课程《标准》中指出：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”高中数学教科书出现的数学概念、数学方法证明，许多概念的形成过程均为水到渠成、合情合理。这就要求教师在课堂教学中必须顺应数学的发展，追求课堂教学的“自然且合理”。

范题解读

师：在初中我们学习了锐角三角函数，它是怎样定义的？

生1：是在直角三角形中定义的，=，=，=。

师：为什么要这样定义？（目的是要揭示概念的本质。）当锐角 是一个定角时，这三个比值如何？

生2：是定值吧！（很多学生犹豫，不敢确定。）

师：当锐角α是定值时，以角α的两边为边，能构造多少个直角三角形？

生3：无数个！

师：这无数个三角形有什么关系？

生4：都是相似三角形。

生5：这些直角三角形都相似，从而在每个直角三角形中的类似上面的对应比值都是相等的。也就是说这三个比值是定值，不随边长的变化而变化。

师：对！（教师动画演示，验证生2所说的数学事实。）由于有“比值不变”这样的规律，我们才定义了“锐角三角函数”的概念。进而再问：已经把角推广到了任意角，能否定义任意角的三角函数？

生6：可以把任意角的三角函数转化到直角三角形中去定义。无论角α的终边落在哪儿，都能构造一个直角三角形，可以仿照锐角三角函数的定义方法，定义任意角α的三角函数。（根据学生的描述，教师画图演示。）

师：如果角α的终边与始边垂直呢？

生6：这个无法定义tanα了。

师：我们是怎样研究“任意角”的？……